Blatt 3 - TU Dortmund

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
M.Sc. R. Löser
Wintersemester 2015/16
29.10.2015
Blatt 3
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Info: Alle Aufgaben sind mit den bis zum 29.10.2015 behandeltem Vorlesungsinhalt lösbar.
Aufgabe 7
Seien X1 und X2 unabhängig identisch verteilt mit P X1 =Exp(λ), λ > 0. Weiter sei Y eine zentrierte laplaceverteilte Zufallsvariable mit der Dichte fY (y) = λ2 exp(−λ|y|).
(a) Zeigen Sie, dass X1 − X2 und Y identisch verteilt sind, indem Sie die Dichte berechnen.
(b) Betrachten Sie im Folgenden die Zufallsvariable Z mit Dichte
fZ (z) =
λ
exp(−λ|z − µ|).
2
P Z heisst (nicht-zentrierte) Laplace-Verteilung mit Lageparameter µ. Bestimmen Sie die Varianz von Z.
(c) Zeigen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes für Dichten, dass die Zufallsvariable
U=
(Z − µ)λ
√
2
die Dichte gU besitzt, mit gU (u) =
√1
2
√
exp(− 2|u|).
(d) Zeichnen Sie für eine laplaceverteilte Zufallsvariable und eine normalverteilte Zufallsvariable
(mit Hilfe von R) die Dichten und die Verteilungsfunktionen jeweils zusammen in eine Grafik.
Beide Verteilungen sollen dabei den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 haben. Wie sind µ
und λ daher zu wählen? Interpretieren Sie die Grafik.
Aufgabe 8
Sei (Xn )n∈N eine Folge von stetig gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [− n1 , n1 ] mit
zugehöriger Verteilungsfunktion Fn . Ferner sei P Z die Einpunktverteilung im Punkt 0, d.h. Z hat
die Dichtefunktion fZ mit
fZ (z) = 1{0} (z)
(a) Konvergiert P Xn schwach gegen P Z ?
(b) Bestimmen Sie P (Xn = 0) für n ∈ N und P (Z = 0). Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Aufgabe 9
X1 , . . . , Xn seien unabhängig identisch verteile Zufallsvariablen mit P X1 =Poi(4). Betrachten Sie
die Zufallsvariable
Zn =
√
n
Xn − µ
√
,
σ2
wobei µ der Erwartungswert und σ 2 die Varianz von X1 sei.
(a) Lösen Sie die folgende Aufgabe mit der Statistiksoftware R oder MATLAB:
Bestimmen Sie für n = 5, 50, 500, 5000 jeweils 1000 Realisationen der Zufallsvariablen Zn .
Zeichnen Sie jeweils die empirische Verteilungsfunktion, sowie das Histogramm der Realisationen von Zn . Zeichnen Sie in die Grafik zusätzlich die Verteilungsfunktion bzw. die Dichte
der Standardnormalverteilung ein. Kommentieren Sie Ihre Beobachtungen.
(b) Bestimmen Sie exakt und approximativ mit dem Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy die
Wahrscheinlichkeit
σ
P |X n − µ| ≤
,
10
n
1X
mit X n =
Xi
n
i=1
für n = 5, 50, 500, 5000.
(c) Seien X1 , . . . , Xn nun unabhängig, aber nicht mehr identisch verteilt mit P Xi =Poi(i). Bestimmen Sie exakt und approximativ mit dem Grenzwertsatz von Ljapunov die Wahrscheinlichkeit
!
n
n
X
√
X
P Xi −
µi ≤ n + 1
i=1
i=1
für n = 5, 50, 500, 5000. Das vierte zentrale Moment der Poisson-Verteilung mit Parameter λ
ist 3λ2 + λ. Sind die Voraussetzungen dieses Grenzwertsatzes erfüllt?
Aufgabe 10
Seien X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Yn unabhängig identisch N(0,1)-verteilte Zufallsvariablen.
(a) Zeigen Sie mit dem Transformationssatz für Dichten, dass die Dichte von V1 =
1
ist durch fV (v) = π+πv
2.
X1
Y1
gegeben
(b) Lösen Sie die folgende Aufgabe mit der Statistiksoftware R oder MATLAB:
Simulieren
n = 10, 100, 1000 jeweils 10000 Realisationen der Zufallsvariablen
P Sie für
i
V n = n1 ni=1 X
.
Yi Stellen Sie für jedes n ∈ {10, 100, 1000} in einem Histogramm alle Realisationen von V n , welche in dem Intervall [−10, 10] liegen, dar. Zeichnen Sie zusätzlich die
Dichte von V1 aus (a) ein. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Stehen Ihre Ergebnisse im Einklang mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen?
Abgabe: Bis Freitag, 06.11.2015, 12 Uhr, in dem entsprechenden Briefkasten im Mathe-Foyer:
Mo 8.30 Uhr Briefkasten 138, Mo 16.05 Uhr und Di 8.30 Uhr Briefkasten 139,
Di 12.00 Uhr, Briefkasten 140.
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html