8.3. Zentraler Grenzwertsatz für quadratintegrable, i.i.d.

8.3. Zentraler Grenzwertsatz für quadratintegrable, i.i.d. Zufallsvariable
mit positiver Varianz. Das in (1) angekündigte Resultat wird nun präzisiert.
Satz. Seien Xn , n ∈ N, unabhängige, identisch verteilte, reellwertige Zufallsvariable
PN
mit E[X1 ] = µ und Var(X1 ) = σ 2 ∈ (0, ∞). Sei weiter ZN = (1/N ) k=1 Xk ,
N ∈ N. Dann gilt
r
N
(ZN − µ) = X in Verteilung, wobei PX = N(0, 1).
(9)
lim
N →∞
σ2
Skizze eines Beweises. Im folgenden werden insbesondere verschiedene Eigenschaften von charakteristischen Funktionen 1 verwendet.
Sei Yn = (Xn − µ)/σ, n ∈ N. Die Zufallsvariablen Yn , n ∈ N, sind i.i.d. und
quadratintegrabel mit E[Y1 ] = 0 und Var(Y1 ) = 1. Weiterhin gilt
r
N
1 X
N
√
Yk =
(ZN − µ), N ∈ N,
σ2
N
k=1
und
ψ(1/√N ) PN
k=1
Yk (z) =
2
=
3
√
ψPN
(z/
N)
Y
k=1 k
N
Y
√
ψYk (z/ N )
k=1
|z|2 N
z2
= 4 1−
+o
2N
N
N
2
z
N →∞
∼
1−
2N
N →∞
exp(−z 2 /2),
→
z ∈ R.
p
Damit ist gezeigt, daß die charakteristische Funktion von N/σ 2 (ZN − µ) bei
N → ∞ gegen die charakteristische Funktion einer gemäß N(0, 1) verteilten Zufallsvariablen X konvergiert 5, d.h. der Satz ist nun bewiesen 6.
Bemerkungen. (i) Für eine Folge Xn , n ∈ N, paarweise unabhängiger 7, identisch
verteilter reellwertiger Zufallsvariablen braucht der Zentrale Grenzwertsatz, d.h.
die Beziehung (9), nicht zu gelten 8. Andererseits gibt es unzählige Verallgemeinerungen des in diesem Abschnitt vorgestellten Satzes. In jenen Resultaten wird
nachgewiesen, daß gewisse Zufallsvariable ζN , N ∈ N, die sich aus vielen kleinen
Beiträgen, die hinreichend wenig voneinander abhängig sind, unter geeigneten Bedingungen bei N → ∞ in Verteilung gegen eine normalverteilte Zufallsvariable ζ
konvergieren 9.
(ii) Der Zentrale Grenzwertsatz ist ein herausragendes Resultat in der Mathematik.
1Die hier benutzten Eigenschaften von charakteristischen Funktionen werden in Satz 2 in Abschnitt 5.8 und in Abschnitt 8.2 erläutert.
2Vgl. Abschnitt 8.2(c).
3Da die Zufallsvariablen Y , n ∈ N, unabhängig sind, vgl. Abschnitt 8.2(a).
n
4
Da E[Yn ] = 0, n ∈ N, und Var(Yn ) = 1, n ∈ N, vgl. Abschnitt 8.2(b).
5Vgl. Abschnitt 8.2(d) und Abschnitt 8.2(e).
6Vgl. Satz 2 in Abschnitt 5.8.
7Eine Folge Y , n ∈ N, von Zufallsvariablen heißt paarweise unabhängig, wenn Y und Y für
n
k
l
alle k, l ∈ N mit k 6= l (stochastisch) unabhängig sind. Der Begriff der paarweisen Unabhängigkeit
von Ereignissen wurde in Abschnitt 2.2.7 eingeführt.
8
Ein Gegenbeispiel wird in [1], Section 2.4, Example 4.5, angegeben.
9Vgl. z.B. [1], Section 2.4, Theorem (4.5). In komplexeren Verallgemeinerungen des hier vorgestellten Zentralen Grenzwertsatzes nehmen die Zufallsvariablen ζN , N ∈ N, und ζ Werte in
1
2
• Ausgehend von recht allgemeinen Annahmen 10 wird eine bemerkenswerte
Konsequenz nachgewiesen 11.
• Nachdem eine geeignete Methode feststeht 12, kann in überraschend wenigen, einfachen Schritten der Beweis abgeschlossen werden.
• Der Zentrale Grenzwertsatz besitzt vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in
zahlreichen Bereichen der menschlichen Erfahrung 13.
(iii) Die Konvergenz in Verteilung kann auf unterschiedliche Weise formuliert werden 14. Insbesondere zeigt (9), daß 15
"r
#
Z a
1
N
√
lim P
(Z
−
µ)
≤
a
=
dx exp(−x2 /2), a ∈ R,
(10)
N
N →∞
σ2
2π −∞
bzw. 16
"r
P
#
Z b
1
N
N →∞
(ZN −µ) ∈ (a, b)
∼ √
dx exp(−x2 /2),
σ2
2π a
−∞ < a < b < ∞. (11)
Literatur
[1] R. Durrett. Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press, 1996.
hochdimensionalen Räumen wie z.B. in Funktionenräumen an, vgl. z.B. [1], Section 7.6, Theorem (6.6) oder [1], Section 7.7, Theorem (7.8).
10Der Ausgangspunkt der Überlegungen ist eine beliebige Folge X , n ∈ N, von quadratn
integrablen, i.i.d. Zufallsvariablen mit positiver Varianz.
11
In der im Limes N → ∞ in Erscheinung tretenden Normalverteilung spielen Details der
Verteilung der Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, keine Rolle mehr.
12Damit ist die Verwendung von charakteristischen Funktionen gemeint.
13Wenn eine zufällige reellwertige Größe G die Summe vieler kleiner, wenig voneinander
abhängiger Beiträge ist, können ihre Schwankungen um ihren mittleren Wert durch eine normalverteilte Zufallsvariable modelliert werden. Beispielsweise sind
– die Schwankungen vieler quantitativer Merkmale der Mitglieder der Bevölkerung eines Landes (Körpergröße, -gewicht, . . . von Männern, bzw. Frauen einer bestimmten Altersklasse),
– die Fluktuationen der Meßwerte von Temperatur, Luftdruck, . . . an einer Wetterstation (in
einem nicht zu großen Zeitraum des Kalenderjahres) oder auch
– die Schwankungen des Kurses einer Aktie (in einem Zeitraum ohne Börsencrash, bzw. ohne
gravierende wirtschaftliche Probleme des Unternehmens)
normalverteilt.
14
Vgl. Satz 2 in Abschnitt 5.8.
15
Bei Rder Anwendung von Satz 2 aus Abschnitt 5.8 beachte man, daß die Verteilungsfunktion
y
R ∋ y → −∞
dx exp(−x2 /2) der standard Normalverteilung in ganz R stetig ist.
16Wie in Abschnitt 8.3.1 erläutert werden wird, gilt (11) auch für Intervalle (a, b) = (a , b ),
N N
√
die bei N → ∞ wie 1/ N immer kleiner werden.
31. Januar 2008