3.¨Ubungsblatt zur Vorlesung Angewandte

Fachbereich Elektrotechnik
und Informationstechnik
SS 2014
31.03.2014
Prof. Georg Hoever
3. Übungsblatt zur Vorlesung
Angewandte Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten pk , nach k-maligem Würfeln zum zweiten
Mal eine Sechs zu würfeln, indem Sie die Situation so betrachten, dass die erste
Sechs nach genau l-maligem Würfeln (l = 1, . . . , k − 1) auftritt, und die zweite dann
nach genau k − l-maligem Würfeln.
Fällt Ihnen noch eine andere Art der Herleitung der pk ein?
b) Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen, die nur ganzzahlige Werte annehmen, mit pl = P (X1 = l) und ql = P (X2 = l).
Wie ist die Verteilung von Y = X1 +X2 ? Stellen Sie dazu (analog zu a)) eine Formel
auf, wie sich P (Y = k) aus den pl und ql berechnet.
Satz:
Sind X1 und X2 stetige Zufallsvariablen mit Dichten f1 und f2 , so besitzt X1 + X2
R∞
die Dichte fX1 +X2 (x) =
f1 (t) · f2 (x − t) dt.
−∞
Aufgabe 2
a) Wie vereinfacht sich der Integrationsbereich bei der Berechnung der Dichte von
X1 + X2 , wenn die einzelnen Zufallsvariablen nur positive Werte annehmen (also
f1 (x) = 0 = f2 (x) für x < 0)?
b) Berechnen Sie die Dichte zu der Summe zweier exponential-verteilter Zufallsvariablen mit gleichem Parameter λ.
c) Die Firma SaveServer bietet ihren Kunden redundant ausgelegte Server: Falls ein
Server ausfällt, steht ein zweiter Server bereit, der die Aufgaben übernimmt. Die
Erfahrung zeigt, dass in 5% der Fälle ein Server innerhalb einer Woche abstürzt.
Täglich wird überprüft, ob auf Grund eines Ausfalls ein Server-Neustart erforderlich
ist.
Ein Kunde verlangt eine Zuverlässigkeit von 99,99% in dem Sinne, dass es nur zu
0,01% der Tage zu einer nicht-Erreichbarkeit des Servers kommt.
Reicht dazu das Konzept von SaveServer?
Aufgabe 3
Betrachtet werden die folgenden Zufallsvariablen:
a) eine auf [a, b] gleichverteilten Zufallsvariable,
(
0,
falls x < 0,
definierten Zufallsvariable,
b) die durch die Dichte f (x) =
1
,
falls
x
≥
0,
2
(x+1)
c) eine Zufallsvariable,
c1) die Zahlen im Intervall [−2, 2] liefert, wobei solche in [0, 2] dreimal so häufig
vorkommen wie solche in [−2, 0] (innerhalb der beiden Intervalle hat man eine
Gleichverteilung),
c2) die Zahlen im Intervall [−1, 2] liefert, wobei ein Resultat in [−1, 0] genauso
wahrscheinlich ist, wie eines in [0, 2] (innerhalb der beiden Intervalle hat man
eine Gleichverteilung),
(vgl. Blatt 2, Aufgabe 1)
d) eine Zufallsvariablen, die mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 den Wert 1 annimmt und
in der anderen Hälfte der Fälle gleichverteilt einen Wert zwischen 0 und 2 annimmt.
Skizzieren Sie jeweils die Verteilungsfunktion F und geben Sie jeweils eine Funktion
g : [0, 1] → R an, so dass g(U ) die gleiche Verteilung wie X besitzt, wenn U gleichverteilt auf [0, 1] ist.
Aufgabe 4
Die Zufallsvariable X habe die nebenstehende Verteilungsfunktion.
Beschreiben Sie in Worten die Verteilung
von X.
1
−1
1
2
3
4
5
6
Aufgabe 5
a) Bestimmen Sie das 0.9-Quantil zu einer Exponentialverteilung mit λ = 1.
b) Bestimmen Sie das 0.95- und das 0.975-Quantil
b1) zur Standardnormalverteilung,
b2) zu einer Normalverteilung mit µ = 1 und σ 2 = 4.
Aufgabe 6
Sei X eine Zufallsvariable, die gleichverteilt eine natürliche Zahl aus {1, 2, . . . , 10} liefert.
Bestimmen Sie das 0.89-, das 0.9- und das 0.91-Quantil zu X.
Aufgabe 7
Sei U gleichverteilt auf [0, 1] und X = U 2 .
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [0.5, 1]).
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion und die Dichte von X?