Wahrscheinlichkeit und Statistik - D-MATH

ETH Zürich HS 2013
D-INFK
Prof. Dr. Martin Schweizer
Koordinator
Sebastian Herrmann
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Schnelltest 2
Nachname, Vorname:
Bei den folgenden 10 Fragen ist jeweils genau eine Antwort richtig. Für jede richtig beantwortete
Frage erhält man 1 Punkt, für jede falsch beantwortete Frage erhält man −1/2 Punkte, und für jede
nicht beantwortete Frage erhält man 0 Punkte. Ingesamt erhält man mindestens 0 Punkte für die
gesamte Aufgabe. Bitte benutzen Sie zur Beantwortung der Fragen die Tabelle am Ende
der Aufgabe.
a) In einer Gruppe von 1000 Leuten haben 70% ein Smartphone und 30% ein herkömmliches Mobiltelefon. Wir wählen nun zufällig 200 Leute aus. Darunter befindet sich eine Anzahl S von Leuten,
die ein herkömmliches Mobiltelefon besitzen. Berechnen Sie P [S = 10].
700
(300
10 )(190)
.
1000
( 200 )
3 10 7 190
(2) P [S = 10] = 200
.
10 ( 10 ) ( 10 )
(1) P [S = 10] =
(3) P [S = 10] =
(300
(700
10 )
190)
1000 + 1000 .
( 200 ) ( 200 )
b) Die gemeinsame Dichte f (x, y) der Zufallsvariablen X und Y sei im Einheitskreis konstant c und
Null ausserhalb. Wie muss man c wählen, damit f (x, y) wirklich eine Dichte ist?
(1) Die Konstante ist π 2 .
(2) Die Konstante ist π.
(3) Die Konstante ist
1
π.
c) Sei X eine positive Zufallsvariable mit Dichte f . Dann gilt:
√
R∞ √
(1) E[e X + 2] = 0 e x f (x)dx + 2.
√
√
R∞
(2) E[e X + 2] = 0 f (e x + 2)dx.
√
R∞ √
(3) E[e X + 2] = 0 (e x f (x) + 2)dx.
d) Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
(1) Die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen ist immer normalverteilt.
(2) Ist X ∼ N (0, 1) und U eine von X unabhängige Zufallsvariable mit P [U = +1] = P [U = −1] = 21 ,
so ist U X ∼ N (0, 1).
(3) Weder 1. noch 2. ist korrekt.
e) Seien X und Y zwei unabhängige N (0, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen für ein σ > 0. Dann ist die
Differenz X − Y
(1) identisch 0.
(2) N (0, 2σ 2 )-verteilt.
(3) N (0, 21 σ 2 )-verteilt.
f ) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte fX (x), x ∈ R, und sei Y = eX . Was gilt dann für die Dichte
fY (y) der Zufallsvariablen Y ?
(1) fY (y) = fXy(y) für y > 0.
(2) fY (y) = FX (log y) für y > 0.
(3) fY (y) =
fX (log y)
y
für y > 0.
g) Seien X und Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte
(
3
(x + y)2 e−x , falls x ≥ 0, y ∈ [0, 1],
f (x, y) = 10
0,
sonst.
Dann ist die Randdichte fX von X gegeben durch
(1) fX (x) =
(2) fX (x) =
(3) fX (x) =
3
2
−x
10 (x + x + 1)e I{x≥0} .
1
2
−x
10 (3x + 3x + 1)e I{x≥0} .
1
2 −x
10 (x + 1) e I{x≥0} .
h) Sei (Xi )i∈N eine Folge von i.i.d. Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen und Sn =
Aussage ist korrekt?
(1)
(2)
(3)
Sn −n/λ approx.
√
∼ N (0, 1) für
n/λ
Sn −λ approx.
∼ N (0, 1) für n
λ
approx.
Sn −n/λ
∼ N (0, 1) für
n/λ2
Pn
i=1 Xi .
Welche
n gross.
gross.
n gross.
i) Seien X1 , X2 , . . . i.i.d.
N (µ, σ 2 )-verteiltePZufallsvariablen für Parameter µ ∈ R und σ > 0. Für
1 Pn
n ∈ N sei X n := n i=1 Xi und T := n1 ni=1 (Xi − X n )2 . Dann gilt
(1) E[T ] = σ 2 .
(2) E[T ] = µ2 .
2
(3) E[T ] = n−1
n σ .
j) Für n ∈ N seien X1 , . . . , Xn i.i.d. mit der Dichtefunktion
(
(θ − 1)x−θ , x ≥ 1,
fθ (x) =
0,
sonst,
wobei θ ∈ (1, ∞) ein unbekannter Parameter ist. Der Maximum-Likelihood-Schätzer für θ lautet
dann
(1) T =
(2) T =
(3) T =
Pn n
.
i=1 log Xi
1 + Pn nlog Xi .
i=1
Pn
n
−
i=1 log Xi .
θ−1
Es genügt in der untenstehenden Tabelle ein Kreuz 7 pro Aufgabe zu machen, eine Begründung ist
nicht erforderlich. Wird bei einer Aufgabe kein oder mehr als ein Kreuz gemacht, so wird diese als
“nicht beantwortet” bewertet.
a)
Antwort (1)
Antwort (2)
Antwort (3)
keine Antwort
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)