Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie ¨Ubungsblatt 9

TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2011/12
Prof. Dr. Thomas Richthammer
Thomas Kochler
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Übungsblatt 9
Tutoraufgaben:
Aufgabe T9.1
Sei X gleichverteilt auf [0, 1] und Y gleichverteilt auf [a, b] mit a < b. Bestimmen Sie E(X) und
E(Y ).
Aufgabe T9.2
Die Verteilung der Zufallsvariablen X und Y sei gegeben durch
1
P (X = −1, Y = 1) = = P (X = 0, Y = 1)
8
1
P (X = 1, Y = −1) = = P (X = 0, Y = −1)
8
1
P (X = 2, Y = 2) = = P (X = −1, Y = 0).
4
Bestimmen Sie
(a) die Verteilungen von X und Y ,
(b) die Erwartungswerte von X und Y
(c) den Erwartungswert von X · Y .
Aufgabe T9.3
Sei X ∈ L2 . Zeigen sie, dass die durchschnittliche quadratische Abweichung E (X − a)2 für
a := E(X) minimiert wird.
Hausaufgaben:
Aufgabe H9.1 [3 Punkte]
Ein normaler sechsseitiger Würfel und ein mit den Zahlen 1 bis 4 beschriftetes Tetraeder werden
gleichzeitig geworfen. Sei X die geworfene Augenzahl des Würfels und Y die Zahl, die beim
Tetraeder unten liegt. Weiter sei Z1 := X − 2Y , Z2 := 3XY , Z3 := max{X, Y }. Begründen Sie
warum die Erwartungswerte der Zufallsvariablen Z1 , Z2 und Z3 existieren und berechnen Sie
diese.
Aufgabe H9.2 [3 Punkte]
Sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) mit Werten in N0 und
gelte X ∈ L1 . Zeigen Sie, dass folgende Gleichung gilt:
E[X] =
∞
X
P (X ≥ n).
n=1
Abgabe der Hausaufgaben: Am Mittwoch , den 21.12.2011, spätestens um 14.00 Uhr, durch
Einwurf in den entsprechenden Übungskasten.