Probeklausur Wahrscheinlichkeitstheorie

Probeklausur Wahrscheinlichkeitstheorie
Diese Probeklausur soll lediglich einen Überblick über die, in der Vorlesung, behandelten
Themen geben. Es besteht keinerlei Garantie, dass die Aufgaben der Scheinklausur/Prüfung
mit den hier präsentierten in irgendeiner Form in Verbindung stehen. Sei es hinsichtlich
des Schwierigkeitsgrades, oder der Festlegung der Schwerpunkte.
Aufgabe 1
Sei X eine reelle, auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) definierte Zufallsvariable, PX die Verteilung,
F die Verteilungsfunktion und f die Dichtefunktion von P bezüglich dem Lebesguemaß λ. Drücken Sie
für beliebige a, b ∈ R mit a < b die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte aus dem Interval
(a, b] annimmt, durch PX , F und f aus.
P [a < X ≤ b] =
PX ((a, b])
F (b) − F (a)
∫b
a f (x) dx
=
=
Aufgabe 2
richtig
Jede reelle Zufallsvariable hat eine Dichte bezüglich des Lebesguemaßes
Zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borelschen σ-Algebra gibt
es eine entsprechende Verteilungsfunktion
Aus der Unkorreliertheit der Zufallsvariablen X und Y
folgt im Allgemeinen deren Unabhängigkeit.
Aus der fast sicheren Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen
folgt im Allgemeinen die Konvergenz im L2 -Sinne.
Sei A ⊂ Q und λ das Lebesgue-Borel-Maß, dann gilt λ(A) = 0.
Es seien X und Y unabhängige ZVen und Z := X + Y .
Für die zugeh. charakt. Funktion gilt i.A. : ϕZ = ϕX · ϕY .
falsch
X
X
X
X
X
X
Aufgabe 3
Zu Konstanten a, b ∈ R betrachten wir die Funktion f : R → R, definiert durch
{
ax2 + b
falls |x| < 1,
f (x) :=
0
sonst.
Für welche Werte von a und b ist f eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P bezüglich λ?
≤a≤
b=
(Hinweis: b ist in Abhängigkeit von a anzugeben.)
Lösung
b=
1 1
− a
2 3
−
1
3
3
≤a≤
4
2
(Hinweis: b ist in Abhängigkeit von a anzugeben.)
∫ 1
2
1=
ax2 + bdx = a + 2b
3
−1
=⇒
b=
Unter Verwendung der Forderung f (x) ≥ 0 erhalten wir
{
1
+ 2a
1
1
ax2 + b = + (x2 − )a = 12 31
2
3
2 − 3a
1 1
− a
2 3
x=1
x=0
Ersteres ergibt a ≥ − 34 und zweiteres a ≤ 32 .
Aufgabe 4
Sei X ∼ exp(λ) mit Parameter λ > 0. Berechne
P [X · E(X) ≥ 1] =
Lösung
P [X · E(X) ≥ 1] = e−λ
2
Mit E(X) =
1
λ
ergibt sich
P [X · E(X) ≥ 1] = P [X ≥ λ] = 1 − P [X < λ]
= 1 − FX (λ) = 1 − (1 − e−λλ ) = e−λ
2
Aufgabe 5
Beschreiben Sie die minimale σ-Algebra auf Ω = [0, 1], die durch die Menge {[0, 12 ], [ 21 , 1]} erzeugt wird.
})
({
{ 1 1
}
1 1
[0, 2 ], [ 2 , 1], ∅, [0, 1], [0, 12 ), ( 21 , 1], { 12 }, [0, 12 ) ∪ ( 21 , 1]
=
σ
[0, ], [ , 1]
2 2
Aufgabe 6
Es werde ein Münzwurf unendlich oft wiederholt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass unendlich oft die Sechs auftritt.
Wahrscheinlichkeit =
Lösung An := {n-ter Wurf ist Sechs} somit
Cantelli folgt P (lim sup An ) = 1.
∑∞
n=1 P (An )
=
∑∞
1
n=1 6
= ∞. Mit dem Lemma von Borel-
Aufgabe 7
Formulieren Sie einen Satz vom starken Gesetz der großen Zahlen aus der Vorlesung.
Lösung Seien X1 , . . . , Xn unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit E|X1 | < ∞ . Dann
gilt
1∑
Xi → EX1
n
n
fast sicher (n → ∞)
i=1
2
Aufgabe 8 Die Zufallsvariable Y sei auf dem Intervall [1, 3] gleichverteilt. Berechnen Sie EY 3 .
EY 3 =
Lösung
∫
EY =
3
1
3
1
1
y 3 dy = (34 − 14 ) = 10
2
8
Aufgabe 9
Es werden 12 zufällig ausgewählte Menschen betrachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass alle
in verschiedenen Monaten geboren sind?
p=
12!
1212
Aufgabe 10
Wie kann man in R . . .
Befehl
einen Vektor mit den Einträgen 1, 2, 3 erzeugen?
n Zufallszahlen aus einer N (0, 1)-Verteilung erhalten?
die Komponenten des Vektors x aufsummieren?
eine Grafik mit Punkten erzeugen, deren x- und y-Koordinaten in den
Vektoren x bzw. y enthalten sind?
c(1,2,4)
rnorm(10)
sum(x)
plot(x,y)
Aufgabe 11
Was berechnet die Funktion f, wenn man sie auf eine natürliche Zahl n anwendet?
f <- function(n){
x <- rbinom(n,size=1,p=0.5)
k <- sum(x)
c(n-k,k)/n
}
f(n) berechnet die relative Häufigkeiten von Nullen und Einsen in einer Folge von n
Bernoulli-Experimenten.
Aufgabe 12
Die Zufallsvariablen
X1 , X2 , . . . seien unabhängig N (0, 1)-verteilt. Durch welche Verteilung kann die Ver∑n
2
teilung von i=1 Xi für große n auf einfache Weise approximiert werden?
Lösung: Aus Lemma II.1.5 folgt, dass die Zufallsvariablen Xi2 den Erwartungwert 1 und
die Varianz 3 besitzen. Somit ist die Summe nach dem zentralen GWS approximativ
N (n, 3n)-verteilt.
Aufgabe 13
Sei X gleichverteilt auf dem Intervall [−1, 2] und h(x) := 1 − e−x (x ∈ R).
3
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von h(X) :
E[ h(X) ] =
1−
e − e−2
3
b) Bestimmen Sie die Dichte fh(X) von h(X) :
fh(X) (t) =
1
·I
(t ∈ R)
−2
3 (1 − t) [1−e≤t≤1−e ]
Aufgabe 14
Eine Geschäftsfrau summiert nicht die genauen Beträge von Rechnungen, sondern nur die auf ganze Euro
gerundeten (kaufmännisches Runden). Der Rundungsfehler sei gleichverteilt in [− 21 , 12 ]. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit (approximativ), daß bei 400 Rechnungen die Summe
√ der gerundeten Beträge mehr
als zehn Euro von der exakten Summe abweicht? (Verwenden Sie für 3 ≈ 1, 73). Bei dieser Aufgabe
wird auch der Rechenweg bewertet.
Xi sind gleichverteilt auf [− 21 , 12 ] und unabhängig. EX1 = 0, σ 2 =
∑
1
.
12
Xi | ≥ 10).
∑
∑
Xi − nEX1
10 − nEX1
√
√
P ( Xi ≥ 10) = P (
≥
)
σ n
σ n
√
∑
≈ 1 − Φ( 3) ≈ 1 − Φ(1, 73) ≈ 0, 0418. Damit ist P (| Xi | ≥ 10) ≈ 0, 0836 = 8, 36%.
Gesucht ist P (|
Aufgabe 15
Gegeben sei die Stichprobe {3, 6, 2, 4, 1, 2}. Bestimmen Sie die folgenden statistischen Kenngrößen der
Stichprobe:
arithmetisches Mittel
3
korrigierter empirischer Median
2,5
empirische Varianz
Spannweite
3,2
5
Alternativ findet sich in der Literatur auch folgende Definition des empirischen
Medians: F̂n−1 (0, 5) =
1 ∑6
[2, 3). Die nicht-korrigierte empirische Varianz berechnet sich durch 6 i=1 (xi − 3)2 = 2, 6̄.
Aufgabe 16
Es sei bekannt, dass eine Zufallsgröße N (µ, 4)-verteilt ist. Bei einer Stichprobe vom Umfang 100 wird
das arithmetische Mittel x̄ = 1, 4 gefunden. Wenden Sie einen geeigneten statistischen Hypothesentest
an, um zu überprüfen, ob µ > 1 ist. Hinweis: u0,05 = 1, 6448, u0,01 = 2, 3263.
√
H0 : µ = 1 vs. H1 : µ > 1. Da n(x̄ − µ0 )/σ = 10(1, 4 − 1)/2 = 2, kann H0 zum Niveau
α = 0, 05, nicht jedoch zum Niveau α = 0, 01 abgelehnt werden.
4