Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Wahrscheinlichkeitstheorie 1

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 12. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P45 (Probability Integral Transform).
Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : (Ω, A) → (R; BR ) eine Zufallsvariable mit
Verteilungsfunktion F : R → R.
(a) Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R gilt: P(F (X) ≤ F (x)) = F (x).
Hinweis: Schneide das Ereignis in P(·) mit Ω = {X ≤ x} ∪ {X > x} ein.
(b) Folgern Sie: Ist F stetig, so gilt F (X) ∼ U [0, 1], d.h. F (X) ist gleichverteilt auf [0, 1].
R
(c) Zeigen Sie: F 3 dF = 41 .
Aufgabe P46 (Testen auf Symmetrie mittels U-Statistiken).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Xi , i ∈ N unabhängig und identisch verteilte
Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F : R → R. Als ein Maß für die Symmetrie
von F kann das Funktional
Z
θ1 (F ) :=
1 − F (−x) dF (x).
definiert werden. Die zu F gehörige Verteilung heißt symmetrisch, falls für alle x ∈ R gilt:
F (x) = 1 − F (−x).
(a) Zeigen Sie, dass θ1 (F ) = P(X1 + X2 > 0) und dass eine Abbildung g : R2 → R existiert
mit
Z Z
θ1 (F ) =
g(x, y) dF (x) dF (y).
(b) Geben Sie die zu θ(F ) gehörige U-Statistik Un an und zeigen Sie Un → 12 P-f.s., falls F
tatsächlich symmetrisch ist.
R
Hinweis: Nutzen Sie Präsenzblatt 12, Aufgabe P45(b), um F dF = 21 zu zeigen.
Man kann zeigen, dass es auch nicht-symmetrische Verteilungsfunktionen F gibt, für die θ1 (F ) =
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gilt. In dem Sinne ist θ(F ) kein besonders gutes Maß, um F auf Symmetrie zu testen. Wir
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definieren folgende Alternative
Z
θ2 (F ) := (1 − F (x) − F (−x))2 dF (x)
(c) Zeigen Sie, dass eine Abbildung g : R3 → R existiert mit
Z Z Z
θ2 (F ) =
g(x, y, z) dF (x) dF (y) dF (z).
Geben Sie die zu θ2 (F ) gehörige U-Statistik Un an und zeigen Sie Un → 0 P-f.s., falls F
tatsächlich symmetrisch ist.
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Aufgabe P47 (Schwache Konvergenz des Mittelwerts).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Sei (Xk )k∈N eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen.
Pn
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Definiere Sn := n k=1 Xk für n ∈ N.
(a) Berechnen Sie die charakteristische Funktion φSn in Abhängigkeit von φX1 .
(b) Sei nun X1 ∼ Cauchy(0, 1) mit charakteristischer Funktion φX1 (t) = e−|t| . Zeigen Sie,
D
dass Sn → X1 . Wieso ist das kein Widerspruch zum starken Gesetz der großen Zahlen?
(c) Sei nun X1 ∼ N (0, 1). Zeigen Sie, dass φSn → φ ≡ 1. Was bedeutet das?
Hinweis: Aus Beispiel 6.7 der Vorlesung ist bekannt, dass für X ∼ N (µ, σ 2 ) die charakteristische Funktion gegeben ist durch φX (t) = eitµ e−
σ 2 t2
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.
Aufgabe P48 (Verteilung von Faltungen und Konvergenz von Zufallsvariablen).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien X1 , X2 zwei unabhängige Zufallsvariablen und
Z := X1 + X2 die Faltung.
(a) Seien X1 ∼ Poi(λ), X2 ∼ Poi(µ) Poisson-verteilt mit Parametern λ, µ > 0. Welche Verteilung besitzt Z?
Hinweis: Aus der Vorlesung Beispiel 6.7 ist die charakteristische Funktion φX1 (t) =
exp(λ(eit − 1)) bekannt.
(b) Seien X1 ∼ Bin(n, p), X2 ∼ Bin(m, p) Binomial-verteilt mit Parametern m, n ∈ N und
p ∈ (0, 1). Berechnen Sie φX1 . Welche Verteilung besitzt Z?
Sei nun (Yn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen.
(c) Seien Yn ∼ Geo(pn ) geometrisch verteilt mit Parametern pn (mit Dichten f (k) = pn ·
(1 − pn )k bzgl. des Zählmaßes µZ auf (N0 , P(N0 ))), wobei (pn )n∈N eine Folge von reellen
D
Zahlen in (0, 1) ist mit pn → p ∈ (0, 1). Zeigen Sie: Yn → Geo(p).
(d) Seien Yn ∼ U [0, an ] gleichverteilt auf [0, an ], wobei (an )n∈N eine Folge von reellen Zahlen
D
ist mit an → a ∈ (0, ∞). Zeigen Sie: Yn → U [0, a]. Was passiert im Falle an → ∞?
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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