Einführung in die Mathematische Statistik

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth, A. Rößler, B. Walther
A
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester
21.05.2003
2003
Einführung in die Mathematische Statistik
4. Tutorium (1. Semester)
Aufgabe 1 Darstellung der Verteilung diskreter Zufallsvariablen
Ein Glücksrad nehme die Zahlen 1, 2, . . . , 7 alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/7 an. Die
Zufallsvariable X beschreibe den zufälligen Wert, den das Glücksrad anzeigt. Wir untersuchen die Zufallsvariable Y = (X − 4)2 .
1. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Y in Form einer Tabelle an, die alle
positiven Wahrscheinlichkeiten P (Y = i), i ∈ N enthält.
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y .
3. Eine andere Möglichkeit, die Verteilung einer Zufallsvariablen zu beschreiben, ist die
Angabe ihrer Verteilungsfunktion. Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von Y .
4. Berechnen Sie P (2 < Y ≤ 9) und P (2 ≤ Y < 9) mittels der Verteilungsfunktion von
Y und kontrollieren Sie Ihre Resultate mittels der Beschreibung aus a).
5. Wir drehen 10 Mal hintereinander das Glücksrad. Die Zufallsvariable Xi , i = 1, . . . , 10,
beschreibe den zufälligen Wert, den das Glücksrad beim i. Drehen anzeigt. Y1 , . . . , Y10
seien die durch Yi = (Xi − 4)2 definierten Zufallsvariablen, die das jeweilige End”
ergebnis“ beschreiben. Berechnen Sie unter der Annahme, daß die 10 Drehversuche
unabhängig voneinander sind, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dieses Endergebnis“
”
mindestens 4 Mal kleiner als 2 ist?
Aufgabe 2 Darstellung der Verteilung stetiger Zufallsvariablen
Sei X eine auf dem Intervall (0,1) rechteckverteilte Zufallsvariable. Wir betrachten die
Zufallsvariable Y = X −1 .
1. Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F von Y .
2. Bestimmen Sie eine Dichte von Y und skizzieren Sie diese.
3. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y , falls diese existieren.
4. Bestimmen Sie den Median von Y .
5. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (2 < Y ≤ 9) als Integral über die Dichte und
schraffieren Sie die zu berechnende Fläche in Ihrer Skizze.
6. Bestimmen Sie über F die Wahrscheinlichkeiten P (2 < Y ≤ 9), P (2 ≤ Y < 9) und
P (Y = 9).
Aufgabe 3 Zufallsvariablen
Ein weißer und ein schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Zur Beschreibung dieses
Zufallsexperiments soll der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Ω = {ωij : 1 ≤ i, j ≤ 6},
A = P(Ω) und P (A) = |A|
für A ∈ A verwendet werden. Das Ergebnis ωij bedeute dabei:
|Ω|
der weiße Würfel zeigt Augenzahl i und der schwarze Augenzahl j.
Die Zufallsvariable Y : Ω → R mit Y (ωij ) = i beschreibt die Augenzahl des weißen Würfels.
Außerdem seien die Zufallsvariablen Z : Ω → R mit Z(ωij ) = j, S : Ω → R mit S(ωij ) =
i + j und X : Ω → R mit X(ωij ) = |i − j| gegeben.
1. Was beschreiben die Zufallsvariablen Z, S und X ?
2. Geben Sie die Abbildungsvorschrift der Zufallsvariablen Q und T an, wenn Q die Summe der beiden verdeckten (unten liegenden) Augenzahlen angibt und T die größere
der beiden Augenzahlen.
(Hinweis: Bei handelsüblichen Spielwürfeln addieren sich die Augenzahlen gegenüberliegender Seiten zu 7, dies soll auch hier vorausgesetzt werden.)
3. Geben Sie das Ereignis {X ≥ 4} = {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ 4} in aufzählender Form an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der dieses Ereignis eintritt. Für diese Wahrscheinlichkeit sind verschiedene Schreibweisen möglich:
P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≥ 4}), P ({X ≥ 4}), P (X ∈ [4, ∞) ) oder P (X ≥ 4).
4.
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'
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ω11 ω12
ω61
&
ω23
ω65 ω66
?
-
R
Ω
%
Mit dieser Skizze soll die Zufallsvariable X veranschaulicht werden.
Beschriften Sie die Zahlengerade, verbinden Sie die beschrifteten ω ∈ Ω durch einen
Pfeil mit ihrem jeweiligen Bild X(ω) und tragen Sie das Ereignis {X ≥ 4} ein.
5. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Warum sind dann die folgenden Aussagen
im allgemeinen nicht richtig? Korrigieren Sie!
(i) Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ereignis A ∈ A eine reelle Zahl zu.
(ii) Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung X : Ω → [0, 1].