Einführung in die Mathematische Statistik

Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
T. Harth, A. Rößler, B. Walther
A
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester
15.05.2002
2002
Einführung in die Mathematische Statistik
3. Tutorium (1. Semester)
Aufgabe 1 Kombinatorik
Ein Schachspieler möchte sich sein eigenes Schachbrett bauen. Dazu kauft er 64 Holzwürfel,
von denen er 32 auf je einer Seite mit weißer Farbe und die restlichen 32 auf je einer
Seite mit schwarzer Farbe bemalt. Nun möchte er die Würfel so zusammensetzen, daß
ein handelsübliches Schachbrett (siehe Abbildung) entsteht. Auf wie viele Arten ist das
möglich?
Aufgabe 2 Zufallsvariablen
Ein weißer und ein schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Zur Beschreibung dieses
Zufallsexperiments soll der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit Ω = {ωij : 1 ≤ i, j ≤ 6},
A = P(Ω) und P (A) = |A|
für A ∈ A verwendet werden. Das Ergebnis ωij bedeute dabei:
|Ω|
der weiße Würfel zeigt Augenzahl i und der schwarze Augenzahl j.
Die Zufallsvariable Y : Ω → R mit Y (ωij ) = i beschreibt die Augenzahl des weißen Würfels.
Außerdem seien die Zufallsvariablen Z : Ω → R mit Z(ωij ) = j, S : Ω → R mit S(ωij ) =
i + j und X : Ω → R mit X(ωij ) = |i − j| gegeben.
1. Was beschreiben die Zufallsvariablen Z, S und X ?
2. Geben Sie die Abbildungsvorschrift der Zufallsvariablen Q und T an, wenn Q die Summe der beiden verdeckten (unten liegenden) Augenzahlen angibt und T die größere
der beiden Augenzahlen.
(Hinweis: Bei handelsüblichen Spielwürfeln addieren sich die Augenzahlen gegenüberliegender Seiten zu 7, dies soll auch hier vorausgesetzt werden.)
3. Geben Sie das Ereignis {X ≥ 4} = {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ 4} in aufzählender Form an.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der dieses Ereignis eintritt. Für diese Wahrscheinlichkeit sind verschiedene Schreibweisen möglich:
P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≥ 4}), P ({X ≥ 4}), P (X ∈ [4, ∞) ) oder P (X ≥ 4).
4.
$
'
q
q
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q
ω11 ω12
ω61
&
ω23
ω65 ω66
?
-
R
Ω
%
Mit dieser Skizze soll die Zufallsvariable X veranschaulicht werden.
Beschriften Sie die Zahlengerade, verbinden Sie die beschrifteten ω ∈ Ω durch einen
Pfeil mit ihrem jeweiligen Bild X(ω) und tragen Sie das Ereignis {X ≥ 4} ein.
5. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Warum sind dann die folgenden Aussagen
im allgemeinen nicht richtig? Korrigieren Sie!
(i) Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ereignis A ∈ A eine reelle Zahl zu.
(ii) Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung X : Ω → [0, 1].
Aufgabe 3 Darstellung der Verteilung diskreter Zufallsvariablen
Ein Glücksrad nehme die Zahlen 1, 2, . . . , 7 alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/7 an. Die
Zufallsvariable X beschreibe den zufälligen Wert, den das Glücksrad anzeigt. Wir untersuchen die Zufallsvariable Y = (X − 4)2 .
1. Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Y in Form einer Tabelle an, die alle
positiven Wahrscheinlichkeiten P (Y = i), i ∈ N enthält.
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y .
3. Eine andere Möglichkeit, die Verteilung einer Zufallsvariablen zu beschreiben, ist die
Angabe ihrer Verteilungsfunktion. Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von Y .
4. Berechnen Sie P (2 < Y ≤ 9) und P (2 ≤ Y < 9) mittels der Verteilungsfunktion von
Y und kontrollieren Sie Ihre Resultate mittels der Beschreibung aus a).
5. Wir drehen 10 Mal hintereinander das Glücksrad. Die Zufallsvariable Xi , i = 1, . . . , 10,
beschreibe den zufälligen Wert, den das Glücksrad beim i. Drehen anzeigt. Y1 , . . . , Y10
seien die durch Yi = (Xi − 4)2 definierten Zufallsvariablen, die das jeweilige End”
ergebnis“ beschreiben. Berechnen Sie unter der Annahme, daß die 10 Drehversuche
unabhängig voneinander sind, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dieses Endergebnis“
”
mindestens 4 Mal kleiner als 2 ist?