2.3.2. Beispiele für Verteilungsfunktionen.

2.3.2. Beispiele für Verteilungsfunktionen.
(a) Sei X eine in [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable, d.h., PX ist die Gleichverteilung 1 in [a, b] und besitzt somit die Dichte 2 f (y) = (b − a)−1 I[a,b] (y), y ∈ R. In
diesem Fall gilt:


0,
y < a,

Z y
y − a
, y ∈ [a, b),
FX (y) = 3 PX (−∞, y] = 4
dz f (z) = 5

b−a
−∞


1,
y ≥ b.
(b) P
Sei A eine höchstens abzählbare Teilmenge von R und seien pa ∈ (0, 1], a ∈ A,
mit a∈A pa = 1. Sei außerdem X eine A-wertige Zufallsvariable mit 6 7
8
P[X = a] =
Es folgt nun
10
PX [{a}] =
9
pa ,
a ∈ A.
(21)
:
FX (y) = PX (−∞, y] =
11
X
PX [{a}] =
a∈A∩(−∞,y]
X
a∈A∩(−∞,y]
pa ,
y ∈ R.
(c) Sei zunächst X eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Die Verteilung von X habe eine stetige Dichte ψ. Nun ist Z = X 2
eine positive reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, F, P) 12. Es zeigt sich, daß
FZ (y) = 0,
y ≤ 0,
FZ (y) = P[Z ≤ y] = P X 2 ∈ [0, y]
1Vgl. Abschnitt 1.9.1(c).
2Für eine Teilmenge G einer Menge M bezeichnet I die Indikatorfunktion von G, d.h.,
G
(
1,
IG (x) =
0,
falls x ∈ G,
falls x ∈ M \ G.
3Nach Definition 2.3.A.
4Da P die Dichte f besitzt.
X
5
Links von a ist FX ≡ 0, während FX ≡ 1 rechts von b. Zwischen a und b steigt FX linear an.
6X ist eine diskrete, reellwertige Zufallsvariable. Ihre Verteilung P ist auf der Menge A ihrer
X
Atome konzentriert, vgl. Bemerkung (ii) in Abschnitt 1.8.
7
Man könnte sich hier wie in Abschnitt 2.1.1(b) die Frage stellen, ob eine derartige Zufallsvariable X überhaupt existiert. Um diese Frage mit ja“ beantworten zu können, kann man bei”
spielsweise folgendermaßen eine solche Zufallsvariable konstruieren:
Man betrachtet den diskreten
P
Wahrscheinlichkeitsraum (A, Pot(A), P1 ), wobei P1 [A′ ] = a∈A′ pa , A′ ∈ Pot(A), und definiert
X durch X(ω) = ω, ω ∈ A.
8Aufgrund der Definition 2.1.B der Verteilung P von X.
X
9
Dies ist eine Annahme, die in diesem Beispiel gemacht wird.
10
Wenn beispielsweise A = {ak : k ∈ N} mit −∞ < a1 < a2 < · · · < ∞, kann FX auch in der
Form
8
>0,
y < a1 ,
<
P
FX (y) =
pak , y ∈ [am−1 , am ), m = 2, 3, . . . ,
k≤m−1
>
:
1,
y ≥ sup{ak : k ∈ N},
geschrieben werden.
Eine derart übersichtliche Struktur hat die Verteilungsfunktion FX natürlich nicht für jede
diskrete reellwertige Zufallsvariable X. Wenn z.B. X eine Q-wertige Zufallsvariable ist und wenn
P[X = q] > 0 für alle q ∈ Q, liegen die Sprungstellen von FX dicht in R und es gibt kein nichtleeres
offenes Intervall, in dem FX konstant ist.
11Vgl. Bemerkung (i) in Abschnitt 1.8.
12Die Meßbarkeitsbedingung (2.1) läßt sich für die reellwertige Funktion Z auf (Ω, F, P) leicht
nachprüfen.
1
2
√ √ = P X ∈ [− y, y] =
Z
√
y
√
− y
dζ ψ(ζ),
y > 0.
Insbesondere besitzt auch die Verteilung PZ von Z eine Dichte, nämlich ϕ mit

0,
y≤0
1
ϕ(y) = 13
√
√
FZ′ (y) = √ ψ(− y) + ψ( y) , y > 0.
2 y
Bemerkung. Die in Abschnitt 2.3.1 aufgeführten Eigenschaften einer Verteilungsfunktion lassen sich in den hier vorgestellten Fällen leicht nachprüfen.
Insbesondere ist im Fall (b) die Verteilungsfunktion FX rechtsstetig und besitzt
linksseitige Grenzwerte, ist aber nicht stetig 14. Hingegen sind die Verteilungsfunktionen FX und FZ in (a) und (c) stetig 15.
Literatur
[1] E. Hewitt, K. Stromberg. Real and Abstract Analysis, Springer Verlag, 1965.
13Vgl. Abschnitt 2.3.1(f). Die Tatsache, daß F ′ (y) für y = 0 nicht existiert, ist letztendZ
lich nicht problematisch, da die Funktion FZ absolutstetig ist und daher dem Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung genügt. Hierbei
Pn heißt eine Funktion h : R → R absolutstetig, wenn zu ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß
k ) − h(ck )| < ε für jede endliche Menge
k=1 |h(dP
n
(ck , dk ), k = 1, . . . , n, disjunkter, offener Intervalle mit
k=1 |dk − ck | < δ. Der Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung besagt, daß zu jeder absolutstetigen Funktion h : R → R eine
R
R
Funktion h′ : R → R mit ab dx |h′ (x)| < ∞ und h(b) = h(a) + ab dx h′ (x), −∞ < a < b < ∞,
existiert. Für weitere Informationen zu absolutstetigen Funktionen sei auf [1], § 18, verwiesen.
14In jedem a ∈ A besitzt F einen Sprung der Größe p .
a
X
15Allgemein ist F immer stetig, wenn P eine Dichte bzgl. des Lebesguemaßes auf R hat.
X
X
Umgekehrt gibt es allerdings auch Zufallsvariablen X mit einer stetigen Verteilungsfunktion FX ,
deren Verteilung PX weder eine Dichte besitzt noch diskret ist.
16. November 2007