Blatt 09 - Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. M. Voit
Dipl. Math. S. Glaser
Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
Stochastik I
Blatt 9
Abgabe der Hausaufgaben:
Mittwoch, 03.06.2015, um 10.15 Uhr, im zugehörigen Briefkasten Ihrer
Übungsgruppe.
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Entscheiden Sie in den folgenden Fällen, ob der Erwartungswert und/oder die
Varianz der folgenden Verteilungen P existieren und berechnen Sie gegebenenfalls
die beiden Kenngrößen.
a) Es sei P = 31 δ3 + 14 δ4 + 14 δ8 + 61 δ12 .
P
k
b) Es sei P = ∞
k=0 p(1 − p) δk mit p ∈]0, 1[.
c) Es sei P die Verteilung mit Dichte
f (x) =
1
,
π(1 + x2 )
x ∈ R.
Weisen Sie zunächst nach, dass durch f tatsächlich eine Dichte definiert wird.
d) Es sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte
x
1
f (x) = √
exp −
1]0,∞[ (x).
2
2xπ
Weisen Sie zunächst nach, dass durch f tatsächlich eine Dichte definiert wird.
e) Bestimmen Sie den Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung
Hs,w,n . (Auf die Berechnung der Varianz kann verzichtet werden.)
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral:
Z ∞
Γ(t) :=
xt−1 e−x dx (t > 0)
0
a) Zeigen Sie:
(i) Γ(t + 1) = t · Γ(t) (t > 0)
(ii) Γ(n + 1) = n! (n ∈ N0 )
b) Es seien α, ν > 0. Bestimmen Sie die Konstante cα,ν , sodass durch
(
cα,ν · xν−1 e−αx , falls x > 0
fα,ν (x) :=
0,
falls x ≤ 0
die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf (R, B(R)) definiert wird.
c) Die Zufallsvariable X besitze die obige Verteilung P mit der Dichte fα,ν (x).
Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X).
Aufgabe 3
(3 Punkte)
Für eine [0, ∞[-wertige Zufallsvariable X mit Verteilung PX ∈ M 1 (R) sei
Z ∞
ety dPX (y) (t ∈ R).
GX (t) :=
0
Man sagt, dass GX für R ≥ 0 existiert, falls GX (t) ∈ R für alle t ∈] − ∞, R].
a) Es seien nun X und Y unabhängige, [0, ∞[-wertige Zufallsvariablen, sodass
GX und GY für ein R ≥ 0 existieren. Zeigen Sie:
GX+Y (t) = GX (t) · GY (t)
für t ∈] − ∞, R].
b) Es sei X eine Zufallsvariable, sodass GX für ein R > 0 existiert. Zeigen Sie
für k ∈ N, dass
∂k
= E(X k ).
G
(t)
X
k
∂t
t=0
c) Bestimmen Sie GX , falls X
(i) eine geometrisch verteilte Zufallsvariable ist;
(ii) eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0 ist.
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Es sei X eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie für t > 0:
2
1
t
− t2
P (X > t) > √
e
.
2π t2 + 1
Tipp: Betrachten Sie die Funktion
d : [0, ∞[ → R,
2
1
t
− t2
t 7→ P (X > t) − √
e
.
2π t2 + 1
Aufgabe 5
(Bonusaufgabe: Nachklausur 2014)
Es sei X eine R-wertige Zufallsvariable mit E(X 2 ) < ∞. Ferner seien λ > 0 und
c > 0.
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Markov-Ungleichung:
E [(X − E(X) − c)2 ]
P (X − E(X) − c < −λ − c) ≤
.
(λ + c)2
b) Zeigen Sie: E [(X − E(X) − c)2 ] = V ar(X) + c2 .
c) Wählen Sie die Konstante c geeignet, um
P (X < E(X) − λ) ≤
λ2
V ar(X)
.
+ V ar(X)
zu folgern.
Die neuen Übungsblätter sowie weitere Information zur Veranstaltung
finden sich auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2015Sommer/StochI/index.htm