Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie (Informatik

Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
(Informatik B.Sc. und LA Regelschule)
WS 2015/2016, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Markus Böhm, Jannis Koberstein, Alexandra Neamţu
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
14.01.2016
28.01.2016
11. Übungsblatt
Aufgabe 101. Für ein c ∈ R sei die Funktion f : R → R definiert durch
( c
, |x| > 1,
f (x) := x2
0,
sonst.
Bestimmen Sie die Konstante c, so dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Sei X eine Zufallsvariable mit
der Wahrscheinlichkeitsdichte f . Bestimmen Sie ihre Verteilungsfunktion F sowie die Wahrscheinlichkeit
P(X ∈ [ 21 , 2]).
Aufgabe 102. Für α, λ > 0 ist die Funktion F : R → [0, 1] definiert durch
(
α
1 − e−λt , t > 0,
F (t) :=
0,
t 6 0.
Wie lautet die zur Verteilungsfunktion F gehörende Wahrscheinlichkeitsdichte f ?
Aufgabe 103. Die Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Wie lautet die Verteilung von
Y1 = aX + b, für a, b ∈ R beliebig und wie ist Y2 = X 2 bzw. Y3 = max{X, 1 − X} verteilt? Bestimmen Sie
dafür jeweils zuerst die Verteilungsfunktion Fi (x) = P(Yi 6 x) für x ∈ R, i = 1, 2, 3, und berechnen Sie dann
die Dichte der Verteilung.
Aufgabe 104. Die Zufallsgröße X genügt der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0. Bestimmen Sie
die jeweiligen Dichten der Zufallsgrößen Y1 = X 2 bzw. Y2 = 1 − e−λX .
Aufgabe 105. X sei eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion F , wobei dessen Inverse F −1
existiert. Bestimmen Sie die Verteilung von Y = F (X).
Aufgabe 106. Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Bestimmen Sie den Erwartungswert E2−X
und die Varianz Var 2X − 5.
n−1
n
λ
Aufgabe 107. Die Zufallsvariable Xn besitzt die Dichte fn (x) = x(n−1)!
e−λx I[0,∞) (x), λ > 0, n ∈ N. Wie
R ∞ n −t
lautet ihr Erwartungswert EXn ? Nutzen Sie hierfür die Gleichung n! = 0 t e dt, n ∈ N0 .
Aufgabe 108 (4 Punkte). Sei F : R → R gegeben durch
(
1 λt
e ,
t 6 0,
F (t) := 2 1 −λt
1 − 2 e , t > 0,
für λ > 0.
1. Weisen Sie nach, dass F eine Verteilungsfunktion einer absolutstetigen Zufallsvariablen X darstellt.
2. Berechnen Sie die zu F gehörende Wahrscheinlichkeitsdichte f und bestimmen Sie den Erwartungswert
EX und die Varianz Var X.
Aufgabe 109 (4 Punkte). a
1. Sei X ∼ E(λ) für λ > 0. Wie ist dann Y1 =
√
X und Y2 =
1
λ
log(X) verteilt?
2
2. Sei X standardnormalverteilt. Wie ist dann Y3 := eX bzw. Y4 := eX verteilt?
Bestimmen Sie dafür erneut zuerst die Verteilungsfunktionen Fi (x) = P(Yi 6 x) für x ∈ R, i = 1, 2, 3, 4,
und dann die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.
Aufgabe 110 (4 Punkte). Die Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, a], wobei a > 0.
Berechnen Sie deren k-tes Moment EX k und bestimmen Sie damit den Erwartungswert EX und die Varianz
Var X.
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 10.12.15 vor der
Vorlesung abzugeben. In begründeten Ausnahmefällen können die Serien donnerstags bis 28.01. Uhr per
E-mail an die Übungsleiter geschickt werden.
Zulassungsvoraussetzungen für die Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Montag, 22.02.2016, 10-12 Uhr, Hörsaal 024 UHG, Fürstengraben 1
Nachklausurtermin: Montag, 21.03.2016, 10-12 Uhr, Domaschk-HS, August-Bebel-Str. 4, 1. OG
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html
Empfohlene Literatur zur Vorlesung:
• U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Vieweg.
• N. Henze, Stochastik für Einsteiger. Vieweg+Teubner Verlag.
• A. Büchter und H.–W. Henn, Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten
und des Zufalls. Springer.
• S. M. Ross, Introduction to probability models. Elsevier/Academic Press
Termine für das Tutorium:
SR 3 IAAC, Humboldtstr. 8, 16-18 Uhr
Mi, 27.01.
Mi, 10.02.
SR 003, AB 4, 18-20 Uhr
Di, 19.01.
Di, 02.02.