Technische Universität München SoS 2008 Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Ulbrich
Dr. M. Kaplan, Dr. G. Müller
SoS 2008
Blatt 13
Höhere Mathematik 4
für Elektro- und Informationstechnik
Zentralübung (7. Juli 2008)
Z 25) Erzeugung von Zufallszahlen
Ein Zufallszahlen-Generator erzeuge Realisierungen einer Zufallsvariable X ∼ R(0, 1).
Sei F eine stetige und streng monoton wachsende Verteilungsfunktion.
a) Zeigen Sie: Die Zufallsvariable Y := F −1 (X) hat die Verteilungsfunktion F .
b) Ein Computer erzeugt in der Regel nur Zufallszahlen aus R(0, 1) und gewinnt
Realisierungen aus anderen Verteilungen mit Hilfe geeigneter Transformationen.
Wie könnten Sie z.B. unter Verwendung von a) aus rechteckverteilten Zufallszahlen solche erzeugen, die exponentialverteilt sind mit Parameter λ > 0?
Z 26) Affine Transformationen von Zufallszahlen
Sei X eine Zufallsvariable. Für beliebiges a > 0, b ∈ R definieren wir die Zufallsvariable
Y := aX + b.
a) Zeigen Sie: Var(Y ) = a2 Var(X).
b) Sei nun X rechteckverteilt auf [0, 1]. Welche Verteilung hat Y ?
Z 27) St. Petersburger Paradox
Das sogenannte St. Petersburger Spiel funktioniert folgendermaßen: Man wirft eine
Münze. Zeigt sie Kopf, erhält man 2 Euro und das Spiel ist beendet, zeigt sie Zahl, darf
man nochmals werfen. Wirft man beim zweiten Wurf nun Kopf, erhält man 4 Euro und
das Spiel ist beendet, wirft man wieder Zahl, so darf man ein drittes mal werfen. Hier
erhält man bei Kopf 8 Euro und das Spiel ist aus, bei Zahl darf man ein viertes Mal
werfen usw. Die Zufallsvariable X beschreibe nun den Gewinn bei diesem Spiel.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel nach genau n Würfen beendet
ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel länger als n Würfe dauert?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel ewig dauert?
d) Berechnen Sie den erwarteten Gewinn pro Spiel, d.h. E(X).
bitte wenden!
Tutorübungen und Hausaufgaben (9.-14. Juli 2008)
T 44) Dichte und Verteilungsfunktion
Plotten Sie jeweils entweder die Funktion x 7→ P (X = x) oder die Dichte für nachfolgende Fälle, sowie jeweils die zugehörige Verteilungsfunktion.
a) X ∼ Bin(10, 0.2)
e) X ∼ Ex(0.5)
b) X ∼ Bin(10, 0.8)
f) X ∼ Ex(5)
c) X ∼ Poisson(0.5)
g) X ∼ N(0, 1)
d) X ∼ Poisson(5)
h) X ∼ N(4, 4)
T 45) Erwartungswert und Varianz der geometrischen Verteilung
Für die Zufallsvariable G gelte P (G = k) = (1 − q)q k , k ∈ {0, 1, 2, . . .}, wobei q ∈
(0, 1).
a) Geben Sie die Verteilungsfunktion FG : R → R von G an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von G.
c) Welchen Erwartungswert und welche Varianz hat also eine (wie in der Vorlesung
definierte) geometrisch verteilte Zufallsvariable X mit Parameter p?
T 46) Snooker
In den Snookerregeln (vgl. z.B. http://www.snooker4u.ch/SnookerRegeln.htm) findet
sich folgender Satz: ”Die Bälle sollen [...] alle einen Durchmesser von 52.5mm mit einer Toleranz von 0.05mm haben”. Ein Hersteller solcher Kugeln hat festgestellt, dass
seine Maschine Kugeln produziert, deren Durchmesser D (in mm) in jedem einzelnen
Fertigungsvorgang durch folgende Dichte beschreibbar ist:

für x < 52.4
 0
5π
cos[5π(x
−
52.5)]
für
52.4 ≤ x ≤ 52.6
fD (x) =
 2
0
für 52.6 < x
a) Skizzieren Sie fD und weisen Sie nach, dass es sich bei fD tatsächlich um eine
Dichte handelt!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine bei einem einzelnen
Fertigungsvorgang eine regelkonforme Kugel produziert?
c) Geben Sie einen integralfreien Ausdruck für die Verteilungsfunktion FD des
Durchmessers einer Kugel an!
T 47) Tschebychev-Ungleichung
a) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f (x) und E(X) = µ ∈ R, Var(X) = σ 2 > 0.
Beweisen Sie für ε > 0 die Tschebyschev-Ungleichung
σ2
.
ε2
b) Die Belastbarkeit X eines Stahlträgers in Tonnen wird als Zufallsvariable betrachtet. Bekannt ist, dass die Varianz beschränkt ist, genauer sogar Var(X) ≤ 4.
Der Mittelwert µ ist in der Größenordnung von 100, ansonsten aber unbekannt.
Schätzen Sie mit der Tschebyschev-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit, dass X
um weniger als 10 Tonnen vom Mittelwert abweicht.
P (|X − µ| ≥ ε) ≤