Stochastik 1 5. ¨Ubungsblatt

Stochastik 1
WS 2016/2017, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Robert Hesse
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
18.11.2016
25.11.2016
5. Übungsblatt
Aufgabe 51. a
1. Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Wie ist dann Y1 =
√
X und Y2 =
1
λ
log(X) verteilt?
2
2. Sei X standardnormalverteilt. Wie ist dann Y3 := eX bzw. Y4 := eX verteilt?
Bestimmen Sie dafür zuerst die Verteilungsfunktionen Fi (x) = P(Yi ≤ x) für x ∈ R, i = 1, 2, 3, 4, und dann
die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichten.
Aufgabe 52. In einer Geldbörse befinden sich N Münzen, dabei ist N Poisson–verteilt mit Parameter
λ > 0. Jede Münze wird einmal geworfen und zeigt mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) Kopf. Zeigen Sie, dass
die Gesamtanzahl von Münzen, die Kopf zeigen, Poisson–verteilt ist mit Parameter λp.
Aufgabe 53. X hat die Verteilungsfunktion


x<0
0,
F (x) = 21 x, 0 ≤ x ≤ 2


1,
x>2
und Y = X 2 . Bestimmen Sie
a) P( 12 ≤ X ≤ 32 ),
b) P(1 ≤ X < 2),
c) P(Y ≤ X),
d) P(X ≤ 2Y ),
e) P(X + Y ≤ 34 ),
f) die Verteilungsfunktion von Z =
√
X.
Aufgabe 54. Seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils die Verteilungsfunktion F besitzen.
Wie lautet die Verteilungsfunktion von Y = max(X1 , . . . , Xn ) und die von Z = min(X1 , . . . , Xn )?
Aufgabe 55. Für α, λ > 0 ist die Funktion F : R → [0, 1] definiert durch
(
α
1 − e−λt , t > 0,
F (t) :=
0,
t ≤ 0.
Wie lautet die zur Verteilungsfunktion F gehörende Wahrscheinlichkeitsdichte f ?
Aufgabe 56. X sei eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion F , wobei dessen Inverse F −1
existiert. Bestimmen Sie die Verteilung von Y = F (X).
Aufgabe 57 (3 Punkte). Es sei X eine Zufallsvariable mit Werten in N und p ∈ (0, 1). Zeigen Sie, dass X
genau dann geometrisch verteilt mit Parameter p ist, das heißt P(X = k) = (1 − p)k−1 p für k ∈ N, wenn für
alle k, n ∈ N die folgende Gleichung erfüllt ist:
P(X = k + n|X > n) = P(X = k).
Aufgabe 58 (3 Punkte). Die Zufallsgröße X genügt der Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0.
Bestimmen Sie die jeweiligen Dichten der Zufallsgrößen Y1 = X 2 bzw. Y2 = 1 − e−λX .
Aufgabe 59 (3 Punkte). Für ein c ∈ R sei die Funktion f : R → R definiert durch
( c
, |x| ≥ 1,
f (x) := x2
0,
sonst.
Bestimmen Sie die Konstante c, so dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Sei X eine Zufallsvariable mit
der Wahrscheinlichkeitsdichte f . Bestimmen Sie ihre Verteilungsfunktion F sowie die Wahrscheinlichkeit
P(X ∈ [ 21 , 2]).
Aufgabe 60 (3 Punkte). Die Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Wie lautet die
Verteilung von Y1 = aX + b, für a, b ∈ R beliebig und wie ist Y2 = X 2 bzw. Y3 = max{X, 1 − X} verteilt?
Bestimmen Sie dafür jeweils zuerst die Verteilungsfunktion Fi (x) = P(Yi ≤ x) für x ∈ R, i = 1, 2, 3, und
berechnen Sie dann die Dichte der Verteilung.
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und vor der Vorlesung am
Donnerstag oder spätestens bis freitags, 12:00 Uhr in Raum 3523, EAP 2 (Briefumschlag an der Tür)
abzugeben.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges
Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Donnerstag, 16.02.2017, 10-12 Uhr, SR 314, Carl-Zeiß-Straße 3
Nachklausurtermin: Montag, 20.03.2017, 10-12 Uhr, SR 221, Carl-Zeiß-Straße 3
Empfohlene Literatur:
• H.-O. Georgii, Stochastik, de Gruyter, 4. Auflage, 2009.
• U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 5., neubearbeitete und erweiterte Auflage, Vieweg, 2000.
• A. Shiryaev, Probability, Springer, 2. Auflage, 1996.
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html