¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik

SS 2005
Blatt 7
Prof.W. Strauss, F. Schmid
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Aufgabe 45. Auf ein straff gespanntes rechtwinkliges Netz mit Maschenweite 20 cm × 30 cm
(die Dicke der Fäden werde vernachlässigt) wird ein Schneeball mit einem Durchmesser von 12
cm “rein willkürlich” geworfen (das soll hier heißen “der zufällige Auftreffpunkt ist auf einem
festen Rechteck, das durch die Fäden begrenzt ist, gleichverteilt”).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fliegt der Schneeball durch das Netz hindurch, ohne es zu
berühren?
Aufgabe 46. Das Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf B sei gegeben durch
Z
f (x) dx, B Intervall,
Q(B) =
B
wobei mit a > 0, b > 0
 bx
 ae
a − ab x
f (x) =

0
für
für
für
x < 0,
0 ≤ x ≤ b,
x > b.
a) Welcher Zusammenhang muss zwischen a und b bestehen?
b) Für die zu Q gehörige Verteilungsfunktion F : R → R, definiert durch
F (x) := Q((−∞, x]), x ∈ R,
gebe man eine integralfreie Darstellung an.
c) Für den speziellen Fall b = 2 berechne man Q((− ln 2, 4]).
Aufgabe 47. Es sei B ein fester Punkt auf der Einheitskreislinie. Ein Punkt A wird rein zufällig
mit Gleichverteilung auf der Einheitskreislinie ausgewählt, d.h. die reelle Zufallsvariable X, die
den Arcus-Wert von A angibt, ist auf [0, 2π) gleichverteilt. Zu ermitteln ist die Verteilungsfunktion der ZufallsvariablenZ, die den euklidischen Abstand der Punkte A und B angibt.
Hinweise: Es handelt sich hier um eine Verkettung von Zufallsvariabeln (Z = Y ◦ X). Stellen
Sie sich folgende Fragen und schauen Sie im Skript nach:
1. Wie ist eine Verteilungsfunktion bzgl. einer Zufallsvariable defieniert?
2. Was ist die Verteilung einer Zufallsvariabeln und was ist die Verteilung einer Verkettung von
Zufallsvariabeln?
Aufgabe 48. schriftlich Sei F : R → R eine Verteilungsfunktion. Gegeben sei ein W-Raum
(Ω, A, P ) mit Ω = (0, 1), A als σ-Algebra der Borelschen Mengen in (0, 1), P als Gleichverteilung
auf (0, 1). Wir definieren X : Ω → R durch
X(ω) := min{t ∈ R | F (t) ≥ ω},
ω ∈ (0, 1).
Zeigen Sie, dass X
1. wohldefiniert ist,
2. eine reelle Zufallsvariable ist, und
3. gerade die Verteilungsfunktion F hat.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass jede monoton wachsende Funktion X :
(0, 1) → (0, 1) ist messbar bzgl. der borellschen σ-Algebra ( B).
Aufgabe 49. schriftlich Für die Folge (Xn )n∈N reeller Zufallsvariablen auf dem W-Raum
(Ω, A, P ) definieren wir A := {ω ∈ Ω| limn→∞ Xn (ω) = 0}. Man zeige
P (A) = 1
a) unter der Voraussetzung
∀
n∈N
P
1
|Xn | ≥
n
≤
1
n2
b) unter der Voraussetzung
∀ ∀
δ>0 n∈N
P (|Xn | ≥ δ) ≤
1
.
δn2
Hinweis: Benützen sie Borell-Cantelli im ersten Teil und vergleichen Sie Mengen. Im zweiten
Teil reicht Boell-Cantelli alleine nicht. Sie brauchen noch die Stetigkeit von Maßen.
Nächste Woche findet zur Anfang der Übung eine circa 15-minütige Kurz-Klausur
statt. Es werden Definitionen und Zusammenhänge gefragt zu folgenden Begriffen: Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsraum, Wahrscheinlichkeitsmaß, σ-Algebra,
Messraum, Verteilung, Verteilungsfunktion, Dichte, Unabhängigkeit von Ereignissen, Unabhängigkeit von Zufallsvariabeln.
Die Fragen können schlicht die Definiton eines Begriffes sein oder sie zielen auf
Zusammenhänge ab:
Bsp: Wie hängt die Verteilung einer Zufallsvariable mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes zusammen?
Oder man soll bei 2 gegebenen Ereignissen auf Unabhängigkeit entscheiden. etc.
Die Klausur wird ungefähr wie 2 oder 3 Übungsblätter gewertet.
Lösungen zu ausgewählten Aufgaben aus den Übungen findet man ab sofort auf
der Homepage der Vorlesung:
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/WTStat-Strauss-SS05/
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