¨Ubungsaufgaben zur VL Stochastik/Einführung in die WT, WS 2016

Übungsaufgaben zur VL Stochastik/Einführung in die WT, WS 2016/17
Blatt 14, Abgabe der mit * gekennzeichneten Aufgaben: 26.01.2017, vor der VL
52.∗ (2 Punkte)
Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf dem Intervall [a, b], −∞ < a < b < ∞.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X!
53.∗ (3 Punkte)
Für ein c ∈ R sei die Funktion p: R → R gegeben durch
c/x2 ,
falls |x| ≥ 1,
p(x) =
0,
sonst.
Bestimmen Sie die Konstante c, sodass p eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Es sei
nun X eine Zufallsvariable mit Dichte p. Bestimmen Sie die zughörige Verteilungsfunktion sowie die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [1/2, 2]).
54.∗ (3 Punkte)
Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Was ist die Verteilung
von Y1 = aX + b (a, b ∈ R) und wie sind Y2 = X 2 und Y3 = max{X, 1 − X} verteilt?
Hinweis: Bestimmen Sie jeweils zuerst die Verteilungsfunktion der Yi und berechnen
Sie anschließend die Dichten.
55. (3+2 Punkte1 )
(Xn )n∈N sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Xn ∼ Exp(λ), λ > 0.
(i) Zeigen Sie, dass X1 + · · · + Xk eine Dichte p mit
(
xk−1
,
falls x ≥ 0,
e−λx λk (k−1)!
p(x) =
0,
sonst
hat!
(ii) Weiter sei Zt = max{n ≥ 0 : X1 + · · · + Xn ≤ t}.
Zeigen Sie, dass Zt ∼ P oisson(λt) gilt!
Hinweis: Nutzen Sie, dass P (Zt = k) = P (X1 + · · · + Xk ≤ t) − P (X1 + · · · + Xk+1 ≤ t)
gilt!
1
55 ist eine Zusatzaufgabe. Die Punkte werden angerechnet, erhöhen aber nicht das Soll.