Blatt 3 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2007/08

Blatt 3
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2007/08
Aufgabe 13 (Präsenzaufgabe). Sei A eine Algebra in Ω und µ ein Inhalt auf A. Zeigen Sie:
m
m
P
n=1
n=1
a) µ ist subadditiv, d.h. [A1 , . . . , Am ∈ A =⇒ µ( ∪ An ) ≤
µ(An )] .
∞
b) Ist µ ein Maß, dann ist µ sogar σ-subadditiv, d.h. [An ∈ A (n = 1, 2, . . .), ∪ An ∈ A =⇒
n=1
∞
∞
P
µ( ∪ An ) ≤
µ(An )] .
n=1
n=1
Aufgabe 14 (Genetik: Hardy-Weinberg-Gesetz). Ein bestimmtes Gen trete in zwei Versionen (Allelen) A und a auf. Jedes Individuum trägt ein Genpaar und die relativen Häufigkeiten
der Genotypen AA, Aa (=aA), aa in einer Population seien durch p1 , 2p2 , p3 mit p1 +2p2 +p3 = 1
gegeben. Vater und Mutter vererben rein zufällig je eines ihrer beiden Gene an das Kind. Wir
nehmen an, dass ein Partner nicht aufgrund seines Genotyps ausgewählt wird. Zeigen Sie, dass
die Verteilung der Genotypen in der 1. Nachkommengeneration dieselbe ist wie in allen weiteren
Generationen und ermitteln Sie diese Verteilung.
Aufgabe 15. Es sei ([0, 1], B ∩ [0, 1], P ) ein W-Raum, wobei für eine gegebene Abzählung
x1 , x2 , . . . aller rationalen Zahlen in [0, 1] das W -Maß P definiert ist durch
P =
∞
X
2−k δxk ,
k=1
δx bezeichnet das Dirac-Maß in x. Ermitteln Sie die Menge aller Stetigkeitspunkte der zugehörigen Verteilungsfunktion F (x) = P ([0, x]).
Aufgabe 16 (Schriftliche Aufgabe). Zwei Medikamente M1 und M2 werden in den Städten
A und B getestet. In A werden von 16 Patienten, die das Medikament M1 nehmen, 4 gesund,
ebenso 11 von 40 Patienten, die Medikament M2 nehmen. In B werden 29 von 40 Patienten
nach Einnahme von M1 und 12 von 16 Patienten nach Einnahme von M2 gesund.
Überzeugen Sie sich, dass die Heilungsquote von Medikament 2 in beiden Städten größer ist
als die von Medikament 1, dass aber bei einer Zusammenfassung der Daten für beide Städte
Medikament 1 sich als das erfolgreichere erweist.
Anmerkung: Dies ist ein Beispiel für das Simpson’sche Paradoxon. Es bezeichnet die Möglichkeit,
dass bei der Zusammenfassung von Daten aus verschiedenen Gruppen zu einer einzigen Gruppe
sich die Richtung einer Beziehung ändert. Formal ausgedrückt: Sind A und B Ereignisse und
ist (Cj )j∈J eine Partition von Ω mit P (B ∩ Cj ) > 0, P (B c ∩ Cj ) > 0, ∀j ∈ J, dann liegt das
Simpson’sche Paradoxon vor, wenn neben
P (A | B ∩ Cj ) > P (A | B c ∩ Cj ),
∀j ∈ J,
(1)
auch die Ungleichung
P (A | B) < P (A | B c )
(2)
erfüllt ist. Dies ist ohne weiteres möglich, denn es gilt
X
P (A | B) =
P (Cj | B)P (A | B ∩ Cj ),
j∈J
P (A | B c ) =
X
P (Cj | B c )P (A | B c ∩ Cj ),
j∈J
und (2) kann mit geeigneten Werten für die Gewichte P (Cj |B) und P (Cj |B c ) trotz (1) erreicht
werden.
Aufgabe 17. Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F . Zeigen Sie:
a) Ist F stetig, so ist U = F (X) eine auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable.
b) Für beliebige Verteilungsfunktionen F gilt
P (F (X) ≤ t) ≤ t für alle t ∈ [0, 1].
c) Sei F −1 die durch
F −1 (y) := inf{x ∈ R : F (x) ≥ y} für y ∈ [0, 1]
definierte verallgemeinerte Inverse von F und U eine auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte
Zufallsvariable. Dann besitzt die Zufallsvariable F −1 (U ) die Verteilungsfunktion F .
Aufgabe 18 (Programmieraufgabe). Verwenden Sie die in Aufgabe 17c angegebene Tatsache zur Erzeugung exp(λ)-verteilter Zufallszahlen. Zur Erzeugung von auf dem Intervall [0, 1]
gleichverteilter Zufallszahlen soll die R-Funktion runif verwendet werden.
Eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable besitzt die Verteilungsfunktion F (x) = 1/2+arctan(x)/π.
Schreiben Sie eine Funktion zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallsvariablen.
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: N. Röhrl, Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung, Universität Stuttgart, 0711-685-65311, e-mail [email protected]
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