Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 4

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Besprechung der Aufgaben am 28.05.2014
Logik in der Informatik, Übungsblatt 4
(1) Sei σ die leere Signatur. Zeigen Sie, dass es keinen σ-Satz ψ erster Stufe gibt, der ausdrückt,
dass eine beliebige Struktur (endlich oder unendlich) aus einer geraden Anzahl von Elementen
besteht. Nehmen Sie dazu an, es gebe einen solchen Satz ψ und verwenden Sie die Formelmengen Φ1 = {ψ} ∪ {∃≥n x : x = x | n > 0} und Φ2 = {¬ψ} ∪ {∃≥n x : x = x | n > 0}, den
Kompaktheitssatz und Löwenheim-Skolem, um Ihre Annahme zum Widerspruch zu führen.
(2) Zeigen Sie indirekt mittels des Kompaktheitssatzes, dass der Zusammenhang beliebiger Graphen (können endlich oder unendlich sein) nicht in der Logik erster Stufe ausdrückbar ist.
Idee für einen Widerspruchsbeweis: Nehmen Sie an, dass es einen τGraph -Satz ψ gibt, der den
Zusammenhang ausdrückt. Erweitern Sie τGraph zur Signatur σ, die zusätzlich die Konstantensymbole c1 und c2 enthält. Folgern Sie, dass es eine unendliche Menge Φ von σ-Sätzen gibt,
so dass jede endliche Menge Ψ ⊆ Φ erfüllbar ist, jedoch Φ unerfüllbar ist. Die Formelmenge Φ
sollte dabei ψ und Formeln, die über die Nicht-Existenz bestimmter Pfade zwischen c1 und c2
sprechen, enthalten.
(3) Wir beweisen nun, dass der Zusammenhang endlicher Graphen ebenfalls nicht in der Logik
erster Stufe ausdrückbar ist.
(a) Sei A = (A, ≤) eine endliche lineare Ordnung. Konstruieren Sie basierend auf A einen
Graphen GA mit Knotenmenge A und Kantenmenge E, der genau dann zusammenhängend
ist, wenn |A| ungerade ist.
(b) Geben Sie eine Formel erster Stufe ψ(x, y) an, so dass für alle a, b ∈ A genau dann
A, a, b |= ψ(x, y) gilt, wenn (a, b) ∈ E.
(c) In der Vorlesung werden Sie zeigen, dass es keinen Satz ϕ erster Stufe gibt, so dass für
alle endlichen linearen Ordnungen A gilt: A |= ϕ genau dann, wenn ||A|| gerade. Folgern
Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (b), dass es keinen Satz ϕ gibt, so dass für alle endlichen
Graphen G gilt: G |= ϕ genau dann, wenn G zusammenhängend.
(4) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Q, ≤) ∼
=m (R, ≤).
(5) Für jede lineare Ordnung A = (A, ≤) betrachten wir eine weitere lineare Ordnung A + A =
({1, 2} × A, ), wobei (i, a) (j, b) genau dann gilt, wenn i < j oder i = j und a ≤ b.
Beispielsweise lässt sich (N, ≤) + (N, ≤) folgendermaßen veranschaulichen:
(1, 0)
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 0)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
...
...
(a) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Z, ≤) ∼
=m (Z, ≤) + (Z, ≤).
(b) Finden Sie das kleinste m ∈ N, so dass gilt: (N, ≤) ∼
6 m (N, ≤) + (N, ≤).
=
Geben Sie einen Satz an, der (N, ≤) 6≡m (N, ≤) + (N, ≤) belegt.
(c) Jetzt wollen wir Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiele betrachten, in denen unendlich viele Runden
gespielt werden. Wir schreiben A ∼
=ω B, wenn der Verteidiger so spielen kann, dass nach
jeder Runde eine Gewinnsituation erreicht ist.
Zeigen Sie (Q, ≤) ∼
6 ω (Z, ≤) + (Z, ≤).
=ω (R, ≤) und (Z, ≤) ∼
=