Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 3

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2012/logik-in-der-informatik/
Logik in der Informatik, Übungsblatt 3
Die Übungsaufgaben werden in der Übungsveranstaltung am 15.5., 17 Uhr besprochen.
Übungsaufgaben
(1) Wenn ϕ eine Formel ist, dann ist die Größe von ϕ die Anzahl der Zeichen aus denen
ϕ besteht.
(a) Geben Sie für alle n ≥ 0 eine Formel ϕn an, so dass ϕn genau in den linearen
Ordnungen mit 2n + 1 Elementen gilt.
(b) Geben Sie Formeln wie in (a) an mit Quantorenrang n + O(1) und Größe 2O(n) .
(c) Geben Sie Formeln wie in (a) an mit Quantorenrang O(n) und Größe O(n).
(2) Wir zeigen in dieser Aufgabe, dass der Zusammenhang von Graphen nicht in der Logik
erster Stufe ausdrückbar ist.
(a) Sei A = (A, ≤) eine endliche lineare Ordnung. Konstruieren Sie basierend auf A
einen Graphen GA mit Knotenmenge A und Kantenmenge E, der genau dann
zusammenhängend ist, wenn |A| gerade ist.
(b) Geben Sie eine Formel erster Stufe ψ(x, y) an, so dass für alle a, b ∈ A gilt:
A, a, b |= ψ(x, y) gdw. (a, b) ∈ E.
(c) In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass es keinen Satz ϕ gibt, so dass für alle
endlichen linearen Ordnungen A gilt: A |= ϕ genau dann, wenn ||A|| gerade.
Folgern Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (b), dass es keinen Satz ϕ gibt, so dass für
alle endlichen Graphen G gilt: G |= ϕ genau dann, wenn G zusammenhängend.
(3) Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
(a) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Q, ≤) ∼
=m (R, ≤).
(b) Für jede lineare Ordnung A = (A, ≤) betrachten wir eine weitere lineare Ordnung A + A = ({1, 2} × A, ), wobei (i, a) (j, b) genau dann gilt, wenn i < j
oder i = j und a ≤ b. Beispielsweise lässt sich (N, ≤) + (N, ≤) folgendermaßen
veranschaulichen:
(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3)
(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3)
...
...
Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Z, ≤) ∼
=m (Z, ≤) + (Z, ≤).
(c) Finden Sie das kleinste m ∈ N, so dass gilt: (N, ≤) ∼
6 m (N, ≤) + (N, ≤).
=
(d) Jetzt wollen wir Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiele betrachten, in denen unendlich viele
Runden gespielt werden. Wir schreiben A ∼
=ω B, wenn der Verteidiger so spielen
kann, dass nach jeder Runde eine Gewinnsituation erreicht ist.
Zeigen Sie (Q, ≤) ∼
6 ω (Z, ≤) + (Z, ≤).
=ω (R, ≤) und (Z, ≤) ∼
=