Logik in der Informatik, ¨Ubungsblatt 2

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Besprechung der Aufgaben am 29.04.2014
Logik in der Informatik, Übungsblatt 2
(1) Skizzieren Sie eine 2-Zähler-Maschine M , so dass (2, p, q) genau dann von M akzeptiert wird,
(a) wenn p eine Potenz von 2 ist und q = 0.
(b) wenn es m ∈ N gibt mit p = 2m und q = 3m.
(c) wenn es k, `, m ∈ N gibt mit p = 2k 3` 5m und k = `, k = m, oder ` = m.
(2) Wenn ϕ eine Formel ist, dann ist die Größe von ϕ die Anzahl der Zeichen aus denen ϕ besteht.
(a) Geben Sie für alle n ≥ 0 eine Formel ϕn erster Stufe an, so dass für alle linearen Ordnungen A genau dann A |= ϕn gilt, wenn A mindestens 2n + 1 viele verschiedene Elemente
besitzt.
(b) Geben Sie Formeln wie in (a) an mit Quantorenrang n + O(1) und Größe 2O(n) .
(c) Geben Sie Formeln wie in (a) an mit Quantorenrang O(n) und Größe O(n).
(3) Mit Σ11 bezeichnen wir die Menge aller SO-Formeln der Gestalt ∃X1 . . . ∃Xk ψ mit k ≥ 0, wobei
die Xi ’s Variablen 2. Stufe sind und ψ eine FO-Formel ist.
(a) Geben Sie eine Σ11 -Formel ϕ1 (x, y) an, so dass für jeden endlichen Graphen G und alle
Knoten v, w ∈ ||G|| gilt: G, v, w |= ϕ1 genau dann, wenn es in G einen gerichteten Weg
von v nach w gibt.
Hinweis: Benutzen Sie eine zweistellige Relation.
(b) Geben Sie einen Σ11 -Satz ϕ2 an, so dass für jeden endlichen Graphen gilt: G |= ϕ2 genau
dann, wenn G stark zusammenhängend ist.
Hinweis: Benutzen Sie die Idee aus (a) sowie eine vierstellige Relation.
(c) Es sei ψ eine beliebige Σ11 -Formel und x ∈ V0 . Konstruieren Sie zwei Σ11 -Formeln, die zu
∃x : ψ bzw. ∀x : ψ äquivalent sind.
Hinweis: Diese Aufgabe ist eine Verallgemeinerung von (b).