2. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
2. Übungsblatt zur Vorlesung „Logik in der Informatik“
Besprechung am 30. April 2013
Vorbemerkung
Wenn nicht anders angegeben, sei τ im folgenden stets eine beliebige Signatur. Formeln werden
über dieser Signatur betrachtet. Zwei Formeln ϕ, ψ ∈ FO ∪ SO ∪ TC heißen äquivalent, wenn für
alle τ -Strukturen A und alle Belegungen α in A gilt: A |=α ϕ genau dann, wenn A |=α ψ.
Aufgabe 1
Die Entscheidungsprobleme Vertex-Cover und Clique sind beide NP-vollständig, lassen sich
also laut des Satzes von Fagin mithilfe der Logik Σ11 beschreiben. Dies sollen Sie hier explizit
nachweisen.
(a) Überlegen Sie sich im Hinblick auf die oben genannten Anforderungen eine geeignete Signatur τ sowie für alle endlichen, ungerichteten Graphen G und alle Zahlen n ∈ N eine
Codierung des Paares (G, n) durch eine endliche τ -Struktur AG,n .
(b) Geben Sie einen Σ11 -Satz Φ an, so dass für alle endlichen, ungerichteten Graphen G und
Zahlen n ∈ N gilt: AG,n |= Φ genau dann, wenn G eine Knotenüberdeckung (Vertex-Cover)
der Größe n besitzt.
(c) Geben Sie einen Σ11 -Satz Ψ an, so dass für alle endlichen, ungerichteten Graphen G und
Zahlen n ∈ N gilt: AG,n |= Ψ genau dann, wenn G eine Clique der Größe n besitzt.
Aufgabe 2
Eine FO-Formel ϕ ist in Pränex-Normalform, wenn sie die Gestalt
Q1 x1 Q2 x2 . . . Qn xn : ψ
hat, wobei Q1 , . . . , Qn ∈ {∃, ∀} Quantoren, x1 , . . . , xn Variablen 1. Stufe und ψ eine quantorenfreie FO-Formel sind.
(a) Es seien ϕ und ψ zwei FO-Formeln und x eine Variable 1. Stufe mit x 6∈ fV(ψ) eine Variable.
Finden Sie zu den Formeln (∃x : ϕ) ∨ ψ und (∀x : ϕ) ∨ ψ äquivalente Formeln der Gestalt
∃x : χ bzw. ∀x : ξ mit FO-Formeln χ und ξ.
(b) Nun seien ϕ und ψ zwei FO-Formeln in Pränex-Normalform. Zeigen Sie, dass es zu ϕ ∨ ψ
und ¬ϕ jeweils äquivalente FO-Formeln in Pränex-Normalform gibt.
(c) Schlussfolgern Sie: Zu jeder FO-Formel gibt es eine äquivalente FO-Formel in PränexNormalform.
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Aufgabe 3
Es sei τ = τGraph die Signatur die lediglich ein binäres Relationssymbol E umfasst.
(a) Geben Sie eine Σ11 -Formel ϕ(x, y) an, so dass für alle gerichteten Graphen G = (V, E) und
alle Knoten u, v ∈ V gilt: G |= ϕ[u, v] genau dann, wenn es in G einen gerichteten Weg von
u nach v gibt.
(b) Finden Sie einen Σ11 -Satz Φ, so dass für alle gerichteten Graphen G gilt: G |= Φ genau
dann, wenn G stark zusammenhängend ist.
Aufgabe 4
(a) Es seien n ≥ 1, x̄, ȳ, s̄, t̄ n-Tupel von Variablen 1. Stufe und ϕ eine FO-Formel. Geben Sie
eine zu
[TCx̄,ȳ ϕ](s̄, t̄)
äquivalente Σ11 -Formel an.
(b) Es seien ψ eine Σ11 -Formel und x1 , . . . , xk paarweise verschiedene Variablen 1. Stufe. Finden
Sie eine zu
∀x1 . . . ∀xk : ψ
äquivalente Σ11 -Formel.
Hinweis: Benutzen Sie dieselben Ideen wie in Aufgabe 3.
Aufgabe 5
Zeigen Sie: Zu jedem Σ11 -Satz Φ gibt es einen äquivalenten Σ11 -Satz der Gestalt
∃F1 . . . ∃Fk ∀x1 . . . ∀x` ∃y1 . . . ∃ym ∀z1 . . . ∀zn : ψ
wobei F1 , . . . , Fk Variablen 2. Stufe, x1 , . . . , x` , y1 , . . . , ym und z1 , . . . , zn Variablen 1. Stufe und
ψ eine quantorenfreie SO-Formel sind.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 1 (c) in Verbindung mit (einer Erweiterung) der Idee aus Aufgabe 4 (b).
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