5. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik in der Informatik“

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2011/lidi/
5. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
”
Die Lösungen der folgenden Aufgaben werden in der Übung am 17. Mai 2011 besprochen.
Bearbeiten Sie die Aufgaben daher bitte vor diesem Übungstermin zu Hause.
Aufgabe 1
Führen Sie Fall (2.1) des Beweies von Lemma 4.3 aus.
Aufgabe 2
(a) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Q, ≤) ∼
=m (R, ≤).
Für jede lineare Ordnung A = (A, ≤) betrachten wir eine weitere lineare Ordnung A + A =
({1, 2} × A, ), wobei (i, a) (j, b) genau dann gilt, wenn i < j oder i = j und a ≤ b.
Beispielsweise lässt sich (N, ≤) + (N, ≤) folgendermaßen veranschaulichen:
(1, 0)
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(2, 0)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
...
...
(b) Zeigen Sie, dass für alle m ∈ N gilt: (Z, ≤) ∼
=m (Z, ≤) + (Z, ≤).
(c) Finden Sie das kleinste m ∈ N, so dass gilt: (N, ≤) ∼
6 m (N, ≤) + (N, ≤).
=
Jetzt wollen wir Ehrenfeucht-Fraı̈ssé-Spiele betrachten, in denen unendlich viele Runden gespielt werden. Wir schreiben A ∼
=ω B, wenn der Verteidiger so spielen kann, dass nach jeder
Runde eine Gewinnsituation erreicht ist.
(d) Zeigen Sie (Q, ≤) ∼
6 ω (Z, ≤) + (Z, ≤).
=ω (R, ≤) und (Z, ≤) ∼
=
Aufgabe 3
In dieser Aufgabe betrachten wir die Signatur τ = {≤}, ∅, ar mit ar(≤) = 2.
(a) Es sei ϕ ein FO-Satz. Konstruieren Sie FO-Formeln ϕ< (x) und ϕ> (x) mit qr(ϕ< ) =
qr(ϕ< ) = qr(ϕ), so dass für alle linearen Ordnungen A = (A, ≤) und a ∈ A gilt:
(1) A |= ϕ< (a) genau dann, wenn { b ∈ A | b < a } , ≤ |= ϕ.
(2) A |= ϕ> (a) genau dann, wenn { b ∈ A | b > a } , ≤ |= ϕ.
(b) Konstruieren Sie für jedes k ≥ 1 einen FO-Satz ψk mit qr(ψk ) = k + 1, so dass für alle
linearen Ordnungen A gilt: A |= ψk genau dann, wenn kAk genau 2k − 1 Elemente besitzt.