1. ¨Ubung zur Vorlesung TheoC-2 im SS 2010 - Philipps

Übungsleiter: Moritz von Hopffgarten
Universität Marburg
1. Übung zur Vorlesung TheoC-2 im SS 2010
am 22.04.2010 im Seminarraum A5223
Übergang von klassischer Mechanik zu Quantenmechanik, Aufstellen des Hamilton-Operators,
Aufstellen der Wellenfunktion
1. Stellen Sie die vollständigen Hamilton-Operatoren für H+
2 und He auf.
a) Wie lauten die Ausdrücke in der Born-Oppenheimer-Näherung?
b) Wie lauten die Ausdrücke, wenn atomare Einheiten eingeführt werden?
2. Das He-Atom sei durch die Spinorbitale χ1 = φ1 α und χ2 = φ2 β beschrieben. Die elektronische Wellenfunktion sei Ψ.
a) Stellen Sie Ψ als Hartree-Produkt ΨHP und als Slater-Determinante ΨSL auf.
b) Zeigen Sie, dass durch die Verwendung für Ψ = ΨSL die Ununterscheidbarkeit der Elektronen
gewährleistet ist und das Antisymmetrieprinzip erfüllt wird. Überprüfen sie, ob dies auch für Ψ =
ΨHP gilt.
c) Zeigen Sie, dass bei der Verwendung der Slater-Determinante eine physikalisch sinnvolle Wellenfunktion erhalten wird, wenn der gleichzeitige Aufenthalt zweier Elektronen mit ungleichen Spins
im gleichen Raumorbital gefordert wird. (Wie lauten die Randbedingungen für physikalisch sinnvolle Ψ?) Was passiert, wenn der Aufenthalt zweier Elektronen gleichen Spins im gleichen Raumorbital gefordert wird?
d) Leiten Sie die Normierungskonstante in ΨSL für das He-Atom her. Leiten sie den allgemeinen
Ausdruck für die Normierungskonstante eines n-Elektronen-Systems her.
3. Leiten sie den Ausdruck für den Hamilton-Operator Ĥ entsprechend (a) her. Diskutieren Sie die außerdem Eigenschaften der ausgewählten quantenmechanischen Operatoren entsprechend der Aufgabenteile
(b) und (c).
a) Starten Sie von den klassischen Ausdrücken für die kinetische und die potentielle Energie und
verwenden Sie die quantenmechanischen Ausdrücke des Impuls- und des Ortsoperators
p̂x =
h̄ ∂
i ∂x
Der Ausdruck für Ĥ folgt daraus direkt.
1
und
x̂ = x .
(1)
Übungsleiter: Moritz von Hopffgarten
Universität Marburg
b) Zeigen Sie, dass die gewählten Ausdrücke für den Impuls- und Ortsoperator die Beziehungen
p̂x · x̂ − x̂ · p̂x
= [p̂x , x̂]
h̄
=
i
(2)
und
[p̂y , x̂] = 0
(3)
erfüllen. Â, B̂ wird als der Kommutator der Operatoren  und B̂ bezeichnet. Machen Sie sich für
die folgenden Schritte mit der allgemeinen Berechnung von Kommutatoren vertraut.
c) Zeigen Sie, dass der Ausdruck des Impulsoperators in (1) so gewählt ist, dass sich das zweite
Newton’sche Gesetz der klassischen Mechanik Fx = m · ax ergibt (Fx sei die Kraft, m die Masse und
ax die Beschleunigung). Gehen Sie dabei entsprechend der Unterpunkte i. bis vii. vor.
i. Im Folgenden sei < Â > der Erwartungwert eines zeitunabhängigen Operators Â.
ii. Stellen Sie fest, dass für eine Konstante λ die Beziehungen (4) und (5) gelten.
λ Ψ Â Ψ = λ ∗ Ψ Â Ψ
Ψ Â λ Ψ = λ Ψ Â Ψ
(4)
(5)
iii. Zeigen Sie, dass für einen hermiteschen Operator Ĥ gilt:
∗
Ψ Ĥ Φ = Φ Ĥ Ψ = ĤΨΦ
(6)
iv. Werten Sie für den Erwartungswert < Â >= Ψ(t) Â Ψ(t) das Differential nach der Zeit
d<Â>
mit Hilfe der Produktregel aus.
dt
v. Nutzen Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ĤΨ = ih̄ ∂∂Ψt um zu zeigen, dass
d < Â >
dt
1 < Â, Ĥ >
ih̄
gilt, worin < Â, Ĥ > der Erwartungswert des Kommutators Â, Ĥ ist.
=
(7)
vi. Zeigen Sie nun die Gültigkeit von (8) und (9).
d < x̂ >
dt
d < p̂x >
dt
m
= < p̂x >
= −<
∂ Vx
> = Fx
∂x
vii. Verknüpfen Sie (8) und (9) zum zweiten Newton’schen Gesetz.
2
(8)
(9)