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Klassische Elektrodynamik (SS 2004)
Übung 7
7. 6 .2004
mündliche Aufgaben
Problem 41
(Ampère’sches Gesetz)
Zwei lange koaxiale Spulen tragen jeweils einen Strom I, aber mit entgegengesetzter Richtung. Die innere Spule
hat einen Radius a und n1 Windungen pro Länge, die äußere hat einen Radius b und n2 Windungen pro Länge.
Berechnen Sie das Magnetfeld in den drei Regionen: (i) innerhalb der inneren Spule, (ii) zwischen beiden Spulen
und (iii) außerhalb beider Spulen.
Problem 42
(Vektorpotential)
(a) Welche Stromverteilung erzeugt das Vektorpotential A = keϕ ?
(b) Wenn B ein konstantes Magnetfeld ist, zeigen Sie, dass A = − 21 (r × B). Überprüfen Sie auch, dass
∇ · A = 0.
Problem 43
(Biot-Savart-Gesetz)
(a) Benutzen Sie das Biot-Savart-Gesetz um das magnetische Feld eines endlichen, geraden Drahtsegmentes
zu berechnen, das den Strom I trägt. Nehmen Sie an, dass der Draht entlang der z-Achse von z1 nach z2
verläuft.
(b) Finden Sie das Vektorpotential des Segments und überprüfen Sie damit das Ergebnis aus (a).
schriftliche Aufgaben
Problem 44
(Magnetisches Dipolmoment)
Eine Schallplatte vom Radius R trage eine gleichförmige Oberflächenladung σ und rotiere mit einer konstanten
Winkelgeschwindigkeit ω. Berechnen Sie ihr magnetisches Dipolmoment. (Würde eine in einem CD-Laufwerk
rotierende, geladene CD auch in den Gültigkeitsbereich der Magnetostatik fallen?)
Problem 45
(Vektorpotential der rotierenden Kugelschale)
Berechnen Sie das magnetische Dipolmoment einer rotierenden Kugelschale (Radius R, Winkelgeschwindigkeit
ω, gleichförmige Oberflächenladung σ). Zeigen Sie, daß für Punkte außerhalb der Kugelschale (r > R) das
Vektorpotential das eines idealen Dipols ist.
Problem 46
(Bewegung eines Teilchens im zylindersymmetrischen magnetischen Feld)
(r, ϕ, z) seien Zylinderkoordinaten.
(a) Betrachten Sie das zylindersymmetrische Feld B = (Br (r, z), 0, Bz (r, z)). Zeigen Sie, dass dieses magnetische Feld durch ein Vektorpotential der Form A = (0, Aϕ (r, z), 0) beschrieben werden kann. Nennen Sie
ein Beispiel für ein Vektorpotential (Magnetfeld) dieser Form.
(b) Zeigen Sie, dass es für ein geladenes Teilchen, das sich in diesem Feld bewegt, eine Konstante der Bewegung
γ gibt, so dass
mγ = mr2 φ̇ + qrAϕ .
(c) Falls das elektrische Feld verschwindet ist die Bewegung des Teilchens auf einen endlichen Raumbereich
beschränkt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall für die Bewegung des Teilchens gilt, dass
q
γ − rAϕ (r, z) ≤ rv,
m
wobei v die konstante Geschwindigkeit des Teilchens ist.