Übungsblatt 9 - Uni Regensburg/Physik

Theoretische Physik Ib (Elektrodynamik)
M. Göckeler, WS 2016/17
Blatt 9 (20. – 21.12.2016)
Aufg. 1
In der x-y-Ebene liege eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Auf der z-Achse bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit ~v = v~ez ein idealer
magnetischer Dipol mit Dipolmoment m
~ = m~ez , so daß seine Position zur Zeit t durch vt~ez gegeben
ist. Die Geschwindigkeit sei so klein, daß die Modifikation des Dipolfeldes durch die Bewegung vernachlässigt werden kann. Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung und skizzieren
Sie ihren Verlauf.
Aufg. 2
Ein Metallstab der Masse m gleitet reibungsfrei auf zwei parallelen leitenden Schienen, die
im Abstand l voneinander in der x-y-Ebene liegen und über einen Widerstand R miteinander
~ = B~ez ,
verbunden sind. Die ganze Anordnung befindet sich in einem homogenen Magnetfeld B
das senkrecht auf der Ebene steht, in der die Schienen liegen. Wie üblich, bilden die Koordinaten
x, y, z ein Rechtssystem, und es sei B > 0.
y
R
l
v
x
m
a) Welcher Strom fließt durch den Widerstand, wenn der Stab sich mit der Geschwindigkeit v
nach rechts bewegt? In welche Richtung fließt der Strom?
b) Auf einen Strom I, der in Richtung des Einheitsvektors ~e fließt, wirkt in einem Magnetfeld
~ aufgrund der Lorentzkraft eine Kraft pro Länge, die durch I~e × B
~ gegeben ist. Berechnen
B
Sie die gesamte Kraft, die auf den Metallstab ausgeübt wird.
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Stabs zur Zeit t > 0, wenn er bei t = 0 mit der
Geschwindigkeit v0 gestartet ist.
d) Berechnen Sie die gesamte Energie, die von t = 0 bis t = ∞ an den Widerstand abgegeben
wird.
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Aufg. 3
Ein Wechselstrom I = I0 cos(ωt) fließe in einem langen geraden Draht und werde längs einer
koaxialen Röhre vom Radius a zurückgeführt. Legen Sie die z-Achse eines Zylinderkoordinatensystems in die Richtung des Drahtes.
~ an, das mit dieser Stromverteilung verbunden ist. Betrachten
a) Geben Sie das Magnetfeld B
Sie dabei die Felder als quasistationär, so daß das Magnetfeld wie in der Magnetostatik aus
dem Strom berechnet werden kann.
b) Das induzierte elektrische Feld zeigt in die z-Richtung. Berechnen Sie das induzierte elektrische Feld mit der Randbedingung, daß es in unendlichem Abstand von dem Draht verschwindet.
c) Geben Sie die Verschiebungsstromdichte ~jV an.
d) Bestimmen Sie durch Integration den totalen Verschiebungsstrom IV und berechnen Sie das
Verhältnis IV /I für a = 2 mm und eine Frequenz von 50 Hz.
Diese Aufgabe soll zeigen, daß Verschiebungsströme im allgemeinen zu vernachlässigen sind, es
sei denn, man hat es mit sehr hohen Frequenzen zu tun.
Aufg. 4
Im Betatron werden Elektronen (Ladung −e mit e > 0) auf Kreisbahnen mit konstantem
Radius R in der Ebene z = 0 durch ein zeitlich veränderliches, inhomogenes Magnetfeld der Form
p
~ = B(r) · g(t) ~ez
B
(r = x2 + y 2 )
~
beschleunigt und spüren daher die Lorentzkraft −e~v × B.
a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Elektron zur Zeit t unter dem Einfluß des obigen
Magnetfeldes auf der Kreisbahn mit Radius R?
b) Aufgrund der Zeitabhängigkeit des Magnetfeldes wird auf der Kreisbahn ein elektrisches Feld
~ = E0 (t)~eϕ induziert. Drücken Sie E0 (t) durch den Mittelwert
der Form E
Z
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dA B(r)
B̄(R) =
πR2 r≤R
von B(r) über die Kreisscheibe {(x, y)|x2 + y 2 ≤ R2 } aus. Welche Beschleunigung wird durch
dieses elektrische Feld hervorgerufen?
c) Welche Bedingung für das Magnetfeld ergibt sich daraus, daß die in Teil b) berechnete Beschleunigung mit der (zeitabhängigen) Geschwindigkeit aus Teil a) verträglich sein muß?
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