¨Ubungen zur Einführung in die Theoretische Elektrodynamik WS

Prof. Dr. Edda Klipp
28. 1. 2011
Abgabe: 7. 1. 2011 in der VL
Übungen zur
Einführung in die Theoretische Elektrodynamik
WS 2010/2011
Tutor: Clemens Kühn
Die folgenden Aufgaben sind sowohl Wiederholung als auch neu. Da die Übung nicht
ausreichen wird, um alle Aufgaben im Detail zu rechnen, sollten Sie sich bei Problemen
austauschen und mir am besten vor dem 7.2. mitteilen, welche Aufgaben Sie in der Übung
sehen möchten.
1. Produktregel für den Nabla-Operator:
Zeigen Sie ∇ · (~rϕ) = 3ϕ + ~r · gradϕ
2. Elektrisches Feld symmetrischer Systeme:
Für Ladungsanordnungen mit besonders einfacher Geometrie können Symmetriebetrachtungen Schlüsse über den Verlauf des elektrischen Felds erlauben. Benutzen Sie das
~ r) für die folgenden
Gaußsche Gesetz in Integralform, um die elektrische Feldstärke E(~
Ladungsverteilungen zu berechnen:
(a) Eine homogen geladene Kugel mit Radius R.
(b) Ein unendlich langer homogen geladener Zylinder mit Radius a.
(c) Eine homogen geladene unendlich ausgedehnte ebene Platte der Dicke d.
Hinweis: Benutzen Sie jeweils dem Problem angepasste Integrationsvolumina.
3. Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel :
Ein Atomkern der Ordnungszahl Z läßt sich in guter Näherung als positiv geladene
Kugel mit Ladung Q = Ze beschreiben. Hier ist e = 1.602 · 1019 C die elektrische
~ r) herrscht an der Oberfläche eines Bleikerns
Elementarladung. Welche Feldstärke E(~
(Z = 82, R = 7f m = 7 · 1015 m)? Welche Kraft herrscht zwischen zwei Bleikernen, die
sich im einem Sto fast bis zur Berührung annähern?
4. Kondensatoren:
(a) Wie groß ist die Kapazität eine Zylinderkondensators, bestehend aus zwei konzentrischen Zylindern der Länge L mit den Radien R1 und R2 , die mit den Ladungen
Q und Q belegt sind? Es soll L R1 , R2 angenommen werden (Vernachlässigung
des Streufelds).
(b) Wie groß ist die Kapazität eine Kugelkondensators, bestehend aus zwei konzentrischen Metallkugeln mit den Radien R1 und R2 ?
(c) Wieviel Energie wird in den beiden Fällen im jeweiligen Kondensator gespeichert?
5. Dipole:
Vier Ladungen q befinden sich in einem kartesischen Koordinatensystem an den Punkten
(0, d, 0), (0, −d, 0), (0, 0, d), (0, 0, −d)
und vier Ladungen −q an den Punkten
(−d, 0, 0), (−d/2, 0, 0), (d, 0, 0), (2d, 0, 0).
Berechnen Sie das Dipomoment und den Quadrupoltensor dieser Ladungsanordnung.
6. Stromdurchflossener Draht:
Lösen Sie die Feldgleichung ∆A = −4π~j/c für einen unendlich langen, zylindrischen
draht mit Radius R, der homogen vom Strom I durchflossen wird. Geben Sie das
~
dazugehörige B-Feld
an.
(a) In welche Richtung zeigt das hervorgerufene Magnetfeld?
(b) Stellen Sie Symmetrieüberlegungen an und verwenden Sie das 2. Amperésche
Gesetz, um das Magnetfeld sowohl im Innern als auch im Äüßern des Zylinders
zu berechnen.
7. Magnetischer Dipol:
~ r) =
Das Vektorpotential eines magnetischen Dipols mit Moment m
~ beträgt A(~
m×~
~ r
.
r3
~ = 0?
(a) Erf”ullt dieses Vektorpotential die Coulomb-Eichung ∇A
~ r) resultierende Magnetfeld.
(b) Berechnen Sie das aus A(~
8. Drehmoment auf eine Leiterschleife:
Eine quadratische Leiterschleife mit Kantenlänge a werde mit einem Strom I durch~ und zwei
flossen. Zwei Kanten stehen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld B
a
B
a
a
Kanten parallel dazu (siehe Skizze).
a
(a) Bestimmen Sie das Drehmoment auf die Leiterschleife, indem Sie die Kräfte auf
jede der Kanten berechnen.
(b) Für das Drehmoment eines magnetischen Dipols in einem Magnetfeld gilt allge~ =m
~ Wie groß ist demnach das magnetische Moment der Leitermein M
~ × B.
schleife?
9. Kontinuit”atsgleichung und Maxwellsche Gleichungen:
Leiten Sie aus den zeitabhängigen Maxwellschen Gleichungen in Materie die Kontinuitätsgleichung div~j = −∂ρ/∂t ab.
10. Inertialsysteme:
P P0
P
~ B
~ und in P0 E
~ 0,
,
seien zwei Inertialsysteme. Das elektrische Feld in
sei E,
P
0
~ 0 . Das Feld E
~ habe im ganzen Raum dieselbe Richtung.
B
bewege sich relativ zu
P
~ V~0 = αE).
~ Zeigen Sie, daß die
mit konstanter Gescheindigkeot v~0 parallel zu E(
0
~
~
Komponente von E in Richtung E gleich E ist.
11. Lorentztensor 2. Stufe:
Die Besiehung V α = T αβ Wβ gelte in jedem Inertialsystem. Es sei bekannt, dass V α
und W α Lorentzvektoren sind. Beweisen Sie, dass dann T αβ ein Lorentztensor ist.
12. Homogene Maxwellgleichungen:
Zeigen Sie, dass die homogenen Maxwellgleichungen ∂β F̂ βα = 0 aus den Definitionen
F̂ αβ = εαβγδ Fγδ /2 und F αβ = ∂ α Aα folgen.
Empfohlene Literatur: Fließbach, Greiner, Nolting, Bronstein.
Tutor: Clemens Kühn ([email protected]),HU-Biophysik-Gebäude,
Raum 503