Ubungen zur Vorlesung ,,Elektrodynamik
Werbung
Institut für Theoretische Physik Übungen zur Vorlesung ,,Elektrodynamik“ Prof. Dr. T. Gehrmann Blatt 6 –Frühjahrssemester 2013 Abgabe: 9.04.2013 Besprechung: ETH 10.04.2013 UZH 11.04.2013 http://www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_fs13/Elektrodynamik Aufgabe 1 Bewegung eines magnetischen Dipols ~ = B0 ~ez . Im Magnetfeld befinde sich ein Gegeben sei ein homogenes Magnetfeld B magnetischer Dipol mit Dipolmoment m ~ = (mx , my , mz ). (a) Wie groß ist die Kraft auf den magnetischen Dipol? Wie lautet das Drehmoment ~? D (b) Stellen Sie mit Hilfe der Gleichung für das gyromagnetische Verhältnis γ, ~ =m L ~ / γ, die Bewegungsgleichung für das magnetische Dipolmoment auf. Um welche Art von Gleichung handelt es sich dabei? (c) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingung m(t ~ = 0) = (M0 , 0, Mz ). Aufgabe 2 Quadratische Leiterschleife: Vektorpotential und Magnetfeld In der xy-Ebene sei eine quadratische Leiterschleife mit Kantenlänge a gegeben. Der Mittelpunkt der Leiterschleife befinde sich im Ursprung, die Kanten seien parallel zu den Koordinatenachsen. Die Leiterschleife werde von einem Strom I durchflossen. ~ an (a) Berechnen Sie das durch die Leiterschleife hervorgerufene Vektorpotential A einem beliebigen Raumpunkt ~r aus dem Linienintegral Z µ0 I d~r ′ ~ A (~r) = , 4π |~r − ~r ′ | γ wobei γ den Weg entlang der Leiterschleife bezeichnet. ~ das Magnetfeld B. ~ (b) Berechnen Sie aus dem Vektorpotential A ~ dieser Stromverteilung für |~r| ≫ a (im (c) Zeigen Sie, dass das Vektorpotential A Fernfeld) einem Dipolfeld ~ × ~r ~ = µ0 m A 4π |~r|3 mit m ~ = a2 I~ez entspricht. Hinweis: Z dv p = Arsinh (v − b)2 + c2 Aufgabe 3 v−b c Homogen magnetisierte Kugel ~ = M0~ez ohne Gegeben sei eine homogen magnetisierte Kugel mit Magnetisierung M freie Ströme, ~jF = 0. Ausserhalb der Kugel sei die Magnetisierung Null, sowie ~jF = 0. ~ x ) = −∇ϕ ~ m (~x ) mit dem skalaren (a) Zeigen Sie, dass in diesem Falle gilt, dass H(~ magnetischen Potential Z ~ (~x′ ) 1 ~ M ϕm (~x ) = − ∇x · d3 x′ . 4π |~x − ~x′ | ~ M (b) Berechnen Sie das skalare magnetische Potential ϕm (~x ) für die gegebene Magnetisierungsverteilung im ganzen Raum. Dies erfordert eine Fallunterscheidung r≷R p sowie die Berücksichtigung von (r − r′ )2 = |r − r′ |. (c) Berechnen Sie das gesamte magnetische Moment m ~ ges. der Kugel, und stellen Sie das magnetische Potential als Funktion von m ~ ges. dar. ~ ~ (d) Berechnen Sie nun das H-Feld und das B-Feld, wiederum getrennt für die beiden Teilräume. Welche Feldformen ergeben sich für den Innen- bzw. den Außenraum der Kugel? Skizzieren Sie in drei getrennten Zeichnungen die Feldlinien ~,B ~ und H. ~ von M
