Blatt 7

Übungen zur Vorlesung
SS 2006
Elektrodynamik (Theoretische Physik III)
Blatt 7
Abgabedatum: 27.06.2006
Aufgabe 19
(Votier) Magnetfeld einer rotierenden Kugel
Gemäß Aufgabe 18 lässt sich die magnetische Induktion B(r) schreiben als
Z
µ0
j(r ′ )
B(r) = rotr
d3 r ′
= rotr A(r).
4π
|r − r ′ |
3 Punkte
(1)
Eine Kugel mit Radius R und rotationssymmetrischer Ladungsdichte ρ(r) = ρ(r) rotiere mit
der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse durch ihren Mittelpunkt.
(a) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen dem sogenannten Vektorpotenzial A(r)
und der Ladungsdichte ρ(r)?
Hinweis: v = ω × r
(b) Die Ladung Q sei gleichmäßig auf die Oberfläche verteilt (ρ(r ′ ) = ρ0 δ(r ′ −R)). Berechnen
Sie zunächst die Konstante ρ0 . Benutzen Sie die Darstellung von r ′ in Kugelkoordinaten,
′
um A(r)
q Ylm (θ, φ) zu erhalten. Drücken Sie zunächst r durch
q in Kugelflächenfunktionen
3
3
cos θ und Y1±1 = ∓ 8π
sin θe±iφ aus.
Y10 = 4π
Hinweis: Verwenden Sie (vgl. Aufgabe 4)
l
∞ X
l
X
4π r<
1
=
Y ∗ (Θ, Φ)Ylm (θ, φ)
l+1 lm
|r − R|
2l + 1 r>
(2)
l=0 m=−l
mit r< = min(r, R) und r> = max(r, R).
(c) Spezialisieren Sie nun das gefundene Vektorpotenzial A(r) für die beiden Fälle r ≤ R
und r ≥ R unter Verwendung der Orthonormalitätsrelationen für die Kugelflächenfunktionen:
Z2π Zπ
∗
(3)
(θ, φ) Yl′ m′ (θ, φ) sin θ dθ dφ = δll′ δmm′ .
Ylm
0
0
Berechnen Sie daraus
die magnetische Induktion B(r) und zusätzlich das magnetische
R
Moment m = 12 (r × j(r))d3 r. Wie lässt sich damit das Ergebnis interpretieren?
(d) Betrachten Sie die rotierende Kugel als Modell für das Elektron mit einer Massendichte
M
′
ρm (r ′ ) = 4πR
2 δ(r − R). Berechnen Sie mit Hilfe des Drehimpulses das gyromagnetische
Verhältnis. Diskutieren Sie das Ergebnis.
1
Aufgabe 20
(Votier) Drude-Modell
3 Punkte
(a) Schätzen Sie die mittlere Elektronengeschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit) eines typischen Metalls (z.B. in einem Kupferdraht mit 1 mm2 Querschnitt, 1 A Stromstärke) nach
dem Drudemodell. Vergleichen Sie mit der thermischen Elektronengeschwindigkeit bei
273 K.
(b) Bestimmen Sie die mittlere Stoßzeit und die mittlere freie Weglänge der Elektronen
nach dem Drude-Modell in Kupfer, Silber und Gold bei 273 K und bei der Temperatur
von flüssigem Stickstoff (77 K). Beschaffen Sie sich die notwendigen Größen aus der
Literatur.
In der Realität ist die mittlere Geschwindigkeit kaum temperaturabhängig und etwa
eine Größenordnung höher als im Drudemodell. Welche Eigenschaft des Elektrons vernachlässigt das Drudemodell?
(c) Ein Drude-Metall befinde sich in einem homogenen Magnetfeld Bz senkrecht zur Stromrichtung jx . Dadurch wird ein elektrisches Feld Ey senkrecht zu Strom und Magnetfeld erzeugt, das die Lorentzkraft kompensiert. Dieses Feld ist proportional zu Strom
und Magnetfeld. Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante, den so genannten HallKoeffizienten.
Aufgabe 21
(Schriftlich) Stromführender Vollzylinder
3 Punkte
Durch einen unendlich langen Vollzylinder (µr = 1) mit Radius R fließe der Strom I. Nehmen
Sie eine konstante Stromdichte j 0 an.
(a) Wählen Sie die Coulomb-Eichung divA = 0. Leiten Sie damit eine Poissongleichung für
das Vektorpotenzial A her. Berechnen Sie dieses und das magnetische Feld H innerhalb
und außerhalb des Leiters.
Hinweis: Benutzen Sie Zylinderkoordinaten.
(b) Verifizieren Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe des Stokesschen Satzes.
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