Zusätzliche Aufgaben zu ¨Ubungen zur Theoretischen Elektrodynamik

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Zusätzliche Aufgaben zu
Übungen zur Theoretischen Elektrodynamik
Aufgabe 1
Eine Kugel (Radius R) hat die Volumsladungsdichte ρ(r) = kr2 . Bestimmen
Sie das elektrische Feld innerhalb und außerhalb der Kugel.
Aufgabe 2
Ein elektrischer Dipol (Ladungen ±q im Abstand d) befindet sich in einem
homogenen elektrischen Feld E. Dipol und Feld stehen im Winkel θ aufeinander. Berechnen Sie die elektrostatische Wechselwirkungsenergie zwischen
Dipol und Feld. Welches Drehmoment wirkt auf den Dipol?
Aufgabe 3
Eine Ladung q befindet sich im Zentrum einer Kugelschale (innerer und
äußerer Radius a und b), die aus einem Dielektrikum (Dielektrizitätskonstante ) besteht. Bestimmen Sie das elektrische Feld im gesamten Raum,
und berechnen Sie die induzierte Polarisationsladung σb an den Grenzflächen des Dielektrikums.
Aufgabe 4
Das Potential an der Oberfläche einer Kugel ist gegeben durch
V0 = k sin2 θ ,
wobei k eine Konstante ist. Bestimmen Sie das Potential innerhalb und
außerhalb der Kugel, sowie die Oberflächenladungsdichte σ(θ) auf der Kugel. Benutzen Sie die Entwicklung des Potentials nach Legendrepolynomen,
wobei für das Potential innerhalb und außerhalb der Kugel gilt
Vin (r, θ) =
Vout (r, θ) =
∞
X
l=0
∞
X
l=0
Al rl Pl (cos θ)
Bl
Pl (cos θ) .
rl+1
Nehmen Sie in der Rechnung an, dass keine weiteren Ladungen vorhanden
sind.
[Anmerkung: Die ersten drei Legendrepolynome lauten P0 (x) = 1, P1 (x) =
x und P2 (x) = (3x2 − 1)/2].
Aufgabe 5
Ein Koaxialkabel (unendlich langer Zylinder) besteht aus einem inneren
Leiter mit der Stromdichte kr (0 < r < a), und einer unendlich dünnen
Leiterschicht bei b > a. Für den Gesamtstrom durch den inneren Leiter Iin
und die äußere Leiterschicht Iout gilt Iin = −Iout = I, sodass das Magnetfeld
außerhalb des Koaxialkabels verschwindet. Berechnen Sie das Magnetfeld
des Leiters sowie die Energie pro Einheitslänge, die im Magnetfeld gespeichert ist.
Aufgabe 6
Bestimmen Sie das Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife (Kantenlänge a, Strom I) am Punkt (0, 0, z). Benutzen Sie das Ergebnis für
einen Draht B = (µ0 I)/(4πr)[sin θ2 − sin θ1 ], das in der Vorlesung hergeleitet wurde.
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