¨Ubungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik

Prof. Dr. R. Egger
WS 2015/16
Blatt 11
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik
Abgabe bis Mittwoch, 20.01.2016 um 12:00 Uhr
Übungstermin: Donnerstag, 21.01.2016
Aufgabe 29: Joule-Thomson Effekt
9 Punkte
Beim Joule-Thomson Effekt (auch als isenthalpischer Drosseleffekt bekannt) wird ein Gas von einem Behälter
gedrosselt (d.h. mittels eines schlechten Wärmeleiters) in einen anderen Behälter geleitet, wobei eine Druckdifferenz
zwischen beiden vorliegt. Ob dies zu einer Abkühlung des Gases führt, wird durch den Joule-Thomson Koeffizienten
∂T
γJT =
∂P H
für feste Enthalpie H = H(S, P ) bestimmt.
a) Zeigen Sie zunächst, dass allgemein gilt:
γJT =
V (T α − 1)
CP
mit der Wärmekapazität bei festem Druck CP und dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten α. (3 Punkte)
b) Berechnen Sie α = α(T, v) mit v = V /N für ein Van der Waals Gas. Was folgt daraus für den Joule-ThomsonKoeffizienten beim idealen Gas?
(3 Punkte)
c) Bestimmen Sie die Inversionskurve im P -v Diagramm, bei der γJT = 0 ist, für ein Van der Waals Gas. Skizzieren
Sie die Inversionskurve und markieren Sie das Gebiet, in dem Druckabsenkung zur Abkühlung des Gases führt.
(3 Punkte)
Aufgabe 30: Landau-Diamagnetismus
11 Punkte
Es soll der Bahn-Magnetismus von Elektronen (Ladung −e, Masse m) in einem homogenen externen Magnetfeld
~ = ∇×A
~ = (0, 0, B) mit B > 0 entlang der z-Achse untersucht werden; der Elektronen-Spin spielt hier keine
B
~ = (0, Bx, 0) gewählt werden. Die Resultate sind für den magnetischen Beitrag der
Rolle. Als Eichung kann A
Leitungselektronen in Metallen relevant (Landau-Diamagnetismus).
a) Betrachten Sie zunächst N klassische Teilchen mit der Hamiltonfunktion
H(~r, p~) =
e ~ 2
1 p~ + A(~
r)
2m
c
1
Übungen zur Vorlesung: Statistische Mechanik, Blatt 11
Zeigen Sie, dass die kanonische Zustandssumme des Systems unabhängig vom Magnetfeld ist. Erläutern Sie,
dass daher die magnetische Suszeptibilität χ = 0 ist. Damit folgt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem: klassisch
gibt es keinen Magnetismus.
(2 Punkte)
b) Betrachten Sie nun das quantenmechanische Problem. Zeigen Sie zunächst, dass die Bewegung in der xy Ebene
eB
entspricht. Die resultieeinem eindimensionalen harmonischen Oszillator mit der Zyklotronfrequenz ωc = mc
renden Eigenenergien, die sogenannten Landau-Niveaus, sind (n = 0, 1, 2, . . .)
En (pz ) = h̄ωc (n + 1/2) +
p2z
2m
Zeigen Sie, dass der Entartungsgrad jedes Landauniveaus (für gegebenes n und pz ) = ϕ/ϕ0 ist, indem Sie das
System im Volumen V = Lx Ly Lz mit periodischen Randbedingungen betrachten. py ist dann in Einheiten von
2πh̄/Ly quantisiert, ϕ = BLx Ly ist der magnetische Fluß, und ϕ0 = hc/e das Flußquant.
(3 Punkte)
c) Betrachten Sie nun das grosskanonische Potential Φ(T, V, µ, B) für dieses ideale Fermigas im Magnetfeld. Zeigen
Sie, dass Φ geschrieben werden kann als
Φ = µB B
∞
X
F (µ − [2n + 1]µB B)
n=0
mit dem Bohr’schen Magneton µB = eh̄/2mc und der Funktion
2
Z ∞
pz
V
dp
ln
1
+
exp
−β
−
µ
F (µ) = −
z
πh̄λ2 −∞
2m
√
wobei λ = h/ 2πmkT und β = 1/kT . Benutzen Sie nun die Summenformel
∞
X
∞
Z
g(n + 1/2) ≈
dxg(x) +
0
n=0
1 0
g (0)
24
und leiten Sie den folgenden Ausdruck her:
Z
1 ∞
(µB B)2 0
Φ=
F (µ)
dyF (µ − y) −
2 0
12
(3 Punkte)
d) Die Zustandsdichte D(EF ) folgt aus der mittleren Teilchenzahl N = −(∂Φ/∂µ)T,V für B → 0,
1 ∂N
D(EF ) =
V
∂µ T,V
Berechnen Sie damit die Magnetisierung
M =−
1
V
∂Φ
∂B
T,V,µ
und diskutieren Sie die daraus resultierende magnetische Suszeptibilität χ = (∂M/∂B)T,V,µ , insbesondere im
Grenzfall T → 0.
(3 Punkte)
2