Finanzmathematik I

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis
H. Hoffmann
Winter term 2015/16
Finanzmathematik I
Problem Sheet 4
Aufgabe 4.3: Gegeben sei ein Finanzmarkt auf (Ω, F, P) mit Ω = {ω1 , ω2 }, F = P(Ω) und
P({ω1 }) = 0,7. Der Numéraire sei, wie üblich, eine risikolose Anlage S 0 mit r = 0 und S 1 sei
eine Aktie mit π 1 = 100. Zum Zeitpunkt t = 1 nimmt S 1 den Wert 110 auf ω1 und 70 auf ω2
an.
Sei P eine Europäische Put-Option auf S 1 mit dem Strikeprice K = 90. Berechnen Sie
i) eine replizierende Strategie für P ,
ii) alle arbitragefreien Preise für P und alle äquivalenten Martingalmaße.
Lösung:
i) Zunächst berechnen wir die Werte der Put-Option P = (90 − S 1 )+ zum Zeitpunkt t = 1
in Abhängigkeit von ω. Es gilt P (ω1 ) = 0 und P (ω2 ) = 20.
Für eine replizierende Strategie ξ ∈ R2 muss C(ω) = ξ · S(ω) P-f.s. (in diesem Modell also
sicher, d.h. sowohl für ω1 als auch ω2 ) gelten. Folglich erhalten wir das Gleichungssystem
1ξ 0 + 110ξ 1 = 0
1ξ 0 + 70ξ 1 = 20.
Dieses lässt sich eindeutig lösen durch ξ = (ξ 0 , ξ 1 ) = (55, − 21 ). Folglich ist ξ eine replizierende Strategie.
ii) Zunächst zu den Martingalmaßen. Für P∗ ≈ P Martingalmaß muss im vorliegenden Markt
mit p∗ := P∗ (S 1 = 110) gelten:
EP∗ S 1 = 110p∗ + 70(1 − p∗ ) = 100 = π 1
⇐⇒
3
p∗ = .
4
Folglich gilt (atomarer W’raum!)
dP∗
15
5
= 1{S 1 =110} + 1{S 1 =70} .
dP
14
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Wir erkennen insbesondere, dass P∗ eindeutig ist, also P = {P∗ }. Somit existiert ein
eindeutiger Preis π P für die Put-Option und zwar (hier gibt es zwei Möglichkeiten für die
Berechnung)
•
•
π P = EP∗ [P ] = 20 ·
1
4
= 5.
π P = EP∗ [P ] = EP∗ ξ · S = ξ · EP∗ S = ξ · π = 55 · 1 − 12 · 100 = 5.
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