¨Ubungen zur Quantenmechanik II Blatt 7 Abgabe: 05. Dezember

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2008/2009 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 05. Dezember
Blatt 7
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 20: Virialsatz für ein Thomas-Fermi-Atom
Zeigen Sie mittels einer Skalentransformation der Elektronendichte n(x), dass der Virialsatz auch für
ein Atom der Kernladungszahl Z in der Thomas-Fermi-Näherung gilt, dass also 2T + V = 0 ist mit
Z
Z
Z
Z
′
n(x)
e2
2
3
3 ′ n(x)n(x )
3
5/3
− Ze
,
T = κ d x n(x) ,
V =
d x d x
d3 x
2
|x − x′ |
|x|
wobei κ = ~2 m−1 35/3 π 4/3 /10.
Aufgabe 21: Thomas-Fermi-Grundzustandsenergie
Zeigen Sie, dass die Grundzustandsenergie eines neutralen Atoms der Kernladungszahl Z in der
Thomas-Fermi-Näherung durch
4me4
E=−
7~2
6Z 7
π2
1/3
χ′ (0)
gegeben ist, wobei χ Lösung der Thomas-Fermi-Gleichung χ′′ (y) = y −1/2 χ(y)3/2 ist.
Anleitung: Leiten Sie zunächst die Gleichung
4Jme4
E=−
5~2
6Z 7
π2
1/3
mit J =
Z
∞
dy y −1/2 χ(y)5/2
0
her. Zeigen Sie dann, dass J = − 57 χ′ (0) gilt.
Aufgabe 22: Grundzustandsdichten und Grundzustandswellenfunktionen
Gegeben sei ein Elektronengas in einem äußeren Potenzial, beschrieben durch den Hamilton-Operator
Hu = T + V + U . Dabei sei T der Operator der kinetischen EnergiePund V der Operator der ElektronN
Elektron-Wechselwirkung. Der (symmetrisierte) Operator U =
i=1 u(X i ) beschreibe das äußere
Potenzial, wobei X i ein Einteilchen-Ortsoperator ist.
Nun sei ψ1 Grundzustand zu Hu1 und ψ2 Grundzustand zu Hu2 mit u1 − u2 6= const., d. h. wir
betrachten Grundzustände zu verschiedenen äußeren Potenzialen. Zeigen Sie, dass dann für die Elektronendichten
Z
Z
nψ (x) = N d3 x2 . . . d3 xN ψ ∗ (x, x2 , . . . , xN )ψ(x, x2 , . . . , xN )
die Ungleichheit nψ1 6= nψ2 gilt.
Anleitung: Beweis durch Widerspruch! Leiten Sie zunächst Ungleichungen für die Grundzustandsenergien von Hu1 beziehungsweise Hu2 her. Zeigen Sie dann, dass diese Ungleichungen unter der Annahme
nψ1 = nψ2 auf einen Widerspruch führen.
Aufgabe 23: Kommutatorrelationen der Leiteroperatoren
Seien a†α bosonische beziehungsweise fermionische Erzeuger, wärend die adjungierten Operatoren aα
die entsprechenden Vernichter sind. Im folgenden bezieht sich der obere Index auf den bosonischen,
der untere auf den fermionischen Fall. Die Wirkung der Leiteroperatoren auf einen Fock-Raum-Vektor
ist dann
√
a†α |n1 , . . . , nα , . . . i± = (±1)να 1 ± nα |n1 , . . . , nα + 1, . . . i± ,
√
aα |n1 , . . . , nα , . . . i± = (±1)να nα |n1 , . . . , nα − 1, . . . i± ,
Pα−1
wobei να = i=1 ni die Anzahl der Teilchen mit einer Einteilchenenergie kleiner als der des Einteilchenzustands α ist. Ferner gilt die Kommutatorrelation [a†α , a†β ]∓ = 0.
(a) Zeigen Sie, dass die Kommutatorrelationen [aα , aβ ]∓ = 0 und [aα , a†β ]∓ = δα,β gelten.
(b) Die Feldoperatoren für Bosonen beziehungsweise Fermionen sind definiert als
X
X
Ψ(x) =
hx|αiaα ,
Ψ† (x) =
hα|xia†α ,
α
α
wobei |xi Eigenzustände des Ortsoperators zum Eigenwert x bezeichne. Zeigen Sie, dass die
Feldoperatoren die bosonischen beziehungsweise fermionischen Kommutatorrelationen
[Ψ(x), Ψ(x′ )]∓ = 0 = Ψ† (x), Ψ† (x′ ) ∓ und
Ψ(x), Ψ† (x′ ) ∓ = δ(x − x′ )
erfüllen, falls aα und a†α die entsprechenden Relationen erfüllen.