Blatt 9

Dr. Oliver Schaudt
SS 2014
9. Übung zur Graphentheorie 2
Abgabe in der Vorlesung am Montag, 23.06.2014, 16-17.30 Uhr, Hörsaal XXI.
Bitte versehen Sie Ihre Abgabe mit Vor-, Nachnamen, Matrikel- und Übungsgruppennummer.
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die chromatische Zahl des Petersen-Graphen.
Aufgabe 2:
Der join zweier Graphen G und H, geschrieben G⊕H, ist der Graph, welcher aus
der disjunkten Vereinigung von G und H entsteht, indem alle möglichen Kanten
zwischen V (G) und V (H) hinzugefügt werden. Zeigen Sie:
(a) χ(G ⊕ H) = χ(G) + χ(H).
(b) G ⊕ H ist genau dann kritisch, wenn G und H beide kritisch sind.
Aufgabe 3:
Zeigen oder widerlegen Sie: jeder Graph G besitzt eine χ(G)-Färbung so, dass
mindestens eine Farbklasse eine kardinalitätsmaximale stabile Menge von G ist.
Aufgabe 4:
Sei G ein Graph auf n Knoten, und sei G sein Komplement. D.h. G entsteht aus
G durch Vertauschen von Kanten und nicht-Kanten. Beweisen Sie
√
χ(G) + χ(G) ≥ 2 n.
(Tipp: Zeigen Sie zunächst χ(G) ≥ n/χ(G).)