11. ¨Ubungsblatt - Universität Konstanz
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Zeichnen von Graphen Universität Konstanz Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2007 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent und Krists Boitmanis 11. Übungsblatt Ausgabe: 28.06.2007 Abgabe: 05.07.2007, 10 Uhr Die Bearbeitung in Zweiergruppen ist ausdrücklich erwünscht. Aufgabe 37: Switches 6 Punkte Wir betrachten azyklische, gerichtete Graphen, deren zu Grunde liegender Graph ein Kreis ist (für ein Beispiel siehe Abbildung rechts). Sei C ein solcher Graph und S bzw. T die Menge an Quellen bzw. Senken. Die Knoten der Menge S ∪ T werden Switches genannt. Es gilt |S| = |T |. Weiterhin hat Graph C eine aufwärtsgerichtete Zeichnung Γ, welche ein einfaches Polygon ist. Dieses Polygon teilt die Ebene in zwei zusammenhängende Regionen und zwar in eine endliche, innere Region und in eine unendliche, äußere Region. Weiterhin bezeichnen wir mit SB die Menge der Quellen mit einem großen Winkel in der inneren Region und mit SS die Menge der Quellen mit einem kleinen Winkel in der inneren Region. Analog seien TB bzw. TS definiert. Zeigen Sie: (a) Wenn |S| ≥ 2, dann gilt |SB | + |TB | ≥ 1. (b) Eine aufwärtsgerichtete, planare Zeichnung von C mit 2n Switches hat genau n−1 große Winkel in der inneren Region und genau n + 1 große Winkel in der äußeren Region. Hinweis: Induktion über n. Aufgabe 38: Knotengrade 6 Punkte Sei k eine ganze Zahl. Ein Graph G = (V, E) hat genau dann eine Orientierung seiner Kanten, so dass jeder Knoten Eingangsgrad höchstens k hat, wenn der durchschnittliche Grad der Knoten von jedem Teilgraphen höchstens 2k ist. [Bitte wenden] Aufgabe 39: Rückflussmenge 8 Punkte Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph. Für eine Teilmenge R ⊂ A der Kantenmenge sei Grev(R) der Graph, der aus G durch Umdrehen aller Kanten in R entsteht. R heißt Rückflussmenge, falls Grev(R) azyklisch ist, und Kantenrückflussmenge (feedback arc set), falls Gdel(R) = (V, A\ R) azyklisch ist. (a) Ist eine Kantenrückflussmenge immer eine Rückflussmenge? (b) Ist eine minimale Kantenrückflussmenge immer eine minimale Rückflussmenge? (c) Entwickeln Sie einen Algorithmus, der eine Rückflussmenge mit maximal |A|/2 Kanten liefert.
