Geometrie und Topologie von Flächen

AB Geometrie & Topologie
Prof. Bernhard Leeb, Ph.D.
Dr. Jan Swoboda
Geometrie und Topologie von Flächen
Übungsblatt 4
1. (6 Punkte) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Polarkoordinatenabbildung
f ∶ (0, ∞) × R → R2 ∖ {0},
f (r, ϕ) = (r cos(ϕ), r sin(ϕ))
und zeigen Sie, daß f ein lokaler Diffeomorphismus ist, jedoch kein Diffeomorphismus.
2. (8 Punkte) Für m, n ∈ N bezeichne
D ∶= {A ∈ Hom(Rn , Rm ) ∣ A besitzt maximalen Rang}.
Zeigen Sie, daß D eine offene und dichte Teilmenge von Hom(Rn , Rm ) ist.
3. (8 Punkte) Sei H∶ Rm → Rn eine C k -Abbildung.
(a) Beweisen Sie, daß ihr Graph
graph(H) = {(x, H(x)) ∣ x ∈ Rm } ⊂ Rm+n
eine C k -Untermannigfaltigkeit ist. Zeigen Sie hierzu zunächst, daß die Abbildung
Φ∶ Rm+n → Rm+n ,
Φ(x, y) = (x, y − H(x))
ein C k -Diffeomorphismus ist. Folgern Sie sodann, daß Φ eine extrinsische Karte
für graph(H) ist.
(b) Beweisen Sie: Der Tangentialraum des Graphen im Punkt (x, H(x)) ist
T(x,H(x)) graph(H) = graph(dHx ).
4. (10 Punkte) Es sei S 2 = {x ∈ R3 ∣ ∥x∥ = 1} die Einheitssphäre in R3 . Die stereographische Projektion vom Nordpol N = (0, 0, 1) ∈ S 2 ist die Abbildung
y
x
,
),
pN ∶ S 2 ∖ {N } → R2 , pN (x, y, z) = (
1−z 1−z
d.h. unter pN wird P ∈ S 2 ∖{N } auf den Schnittpunkt des Strahls mit Anfangspunkt
N durch P mit der (x, y)-Ebene abgebildet. Analog definieren wir die stereographisches Projektion pS ∶ S 2 ∖ {S} → R2 vom Südpol S = (0, 0, −1).
(a) Geben Sie extrinsische lokale Karten ΦN und ΦS an, so daß die induzierten
intrinsischen lokalen Karten die Abbildungen pN und pS sind.
−1
2
2
2
(b) Berechnen Sie die durch die Abbildungen p−1
N ∶ R → S ∖ {N } und pS ∶ R →
S 2 ∖ {S} gegebenen lokalen Parametrisierungen von S 2 .
−1
(c) Verifizieren Sie die Glattheit der Kartenwechselabbildungen pS ○p−1
N und pN ○pS .
2
2
(d) Zeigen Sie, daß für alle v ∈ S die Abbildung hv ∶ S → R, hv (w) = ⟨v, w⟩ glatt
ist.
Abgabe: bis Montag, 29.05.2017, 12h s.t.