Graphentheorie – ¨Ubung 5
Werbung
Prof. Dr. Matthias Kriesell · Thomas Schweser
TU Ilmenau · Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften
Graphentheorie – Übung 5
1. Sei F ein Wald mit |F | ≤ k. Zeigen Sie, dass jeder Graph G mit δ(G) ≥ k einen
zu F isomorphen Untergraphen enthält.
2.∗ Man beweise: Zu jedem endlichen Wald F gibt es eine Zahl αF , sodass gilt
ex(n, F ) ≤ αF n.
Hinweis: Man zeige zunächst: Gilt
H mit δ(H) ≥ dβe + 1.
|E(G)|
|G|
≥ β, so besitzt G einen Untergraph
3.∗ Man bestimme für jedes n ≥ 3 die kleinste Zahl q mit der Eigenschaft, dass
jeder Graph auf n Ecken mit mehr als q Kanten einen aufspannenden Kreis
besitzt.
4. Sei a = (a1 , a2 , . . . , an ) eine aufsteigende Folge von Zahlen aus {1, 2, . . . , n − 1},
n ≥ 3. Man zeige: Genau dann besitzt jeder Graph auf n Ecken mit Gradfolge
wenigstens a einen aufspannenden Weg, wenn gilt:
ai ≤ i − 1 ⇒ an+1−i ≥ n − i für alle i ≤ n/2.
Hinweis: G+ entstehe aus G durch Hinzufügen einer neuen Ecke x und allen
Kanten von x zu den anderen Ecken. Was lässt sich über die Existenz aufspannender Wege und Kreise in G und G+ aussagen?
5.∗ Man zeige, dass ein Graph G mit n ≥ 3 Ecken und dG (x) + dG (y) ≥ n für je
zwei nicht-benachbarte Ecken x, y einen aufspannenden Kreis besitzt.
Die mit (*) gekennzeichneten Aufgaben sind von Scheinanwärtern
vorzurechnen, die Aufgaben ohne (*) sollen von den restlichen
Teilnehmern vorbereitet werden.
