Graphentheorie

Prof. Dr. Dieter Rautenbach
Dipl. Math. Philipp Schäfer
Wintersemester 2010/2011
Universität Ulm
Institut für Optimierung und Operations Research
Graphentheorie
Übungsblatt 11
(Abgabe der Hausaufgaben: Mi., 26.01.2010, vor der Übung)
Hausaufgabe 1. Für m, k1 , . . . , km ∈ N sei r(k1 , . . . , km ) die kleinste Zahl n ∈ N, so dass für
jeden vollständigen Graphen G mit mindestens n Ecken und jede Kantenfärbung f : E(G) →
[m] mit den m Farben 1 bis m ein Index i ∈ [m] existiert, für den ω((V (G), f −1 (i))) ≥ ki gilt.
Zeige folgende Aussagen.
1. r(k1 , . . . , km ) ≤ r(k1 − 1, . . . , km ) + r(k1 , k2 − 1, . . . , km ) + · · · + r(k1 , . . . , km − 1) − m + 2.
2. r(k1 + 1, . . . , km + 1) ≤
(k1 +···+km )!
.
k1 !···km !
Hausaufgabe 2. Für n ∈ N sei S1 ∪S2 ∪· · ·∪Sn eine Partition der Menge {1, 2, . . . , r(3, 3, . . . , 3)}.
| {z }
n
Einträge
Zeige, dass für ein i ∈ [n] Zahlen x, y und z in Si existieren mit x + y = z.
Aufgabe 1. Sei G ein Graph, in dem je zwei ungerade Kreise eine gemeinsame Ecke besitzen.
Zeige χ(G) ≤ 5.
Aufgabe 2. Ein Graph G heißt k-kritisch, falls χ(G) = k gilt und das Entfernen einer beliebigen Kante oder Ecke zu einem Graphen mit kleinerer chromatischer Zahl führt.
Zeige, dass ein k-kritischer Graph Minimalgrad mindestens k − 1 hat. Zeige weiter, dass
jeder Graph G mit χ(G) = k mindestens k Ecken mit Grad mindestens k − 1 besitzt.
Aufgabe 3. Zeige, dass in einem kritischen Graphen G keine Clique C existiert mit c(G−C) >
1.
Aufgabe 4. Zeige, dass der einzige 1-kritische Graph der K1 ist, der einzige 2-kritische Graph
der K2 ist und die einzigen 3-kritischen Graphen die ungeraden Kreise sind.
Aufgabe 5. Ein Graph G heißt eindeutig k-färbbar, falls zwei beliebige k-Färbungen von G
die Eckenmenge V (G) auf gleiche Weise partitionieren.
Zeige, dass in einem k-kritischen Graphen G keine Menge S ⊆ V (G) mit c(G − S) > 1 einen
eindeutig (k − 1)-färbbaren Teilgraphen G[S] induziert.
Aufgabe 6. Sei G ein outerplanarer und 2-fach zusammenhängender Graph. Zeige, dass der
duale Graph G∗ eine Ecke u besitzt, so dass G∗ − u ein Baum ist.