Blatt 7

Prof. Dr. Peter Bürgisser,
Jesko Hüttenhain,
Stefan Mengel
Übungen zur
Kombinatorik, Sommersemester 2012
Blatt 7
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Betrachte den bipartiten Graphen Gn = (Vn , En ) mit V := {li | i ∈ [n]} ∪ {ri | i ∈ [n]}
und E := {{li , rj } | i 6= j}.
a) Bestimme χ(Gn ).
b) Wie viele Farben verwendet der Greedy-Algorithmus aus der Vorlesung, wenn er
die Knoten in der Reihenfolge (l1 , r1 , l2 , r2 , . . . , ln , rn ) bearbeitet.
c) Gib eine Reihenfolge an, für die der Algorithmus die minimale Anzahl an Farben
für Gn verwendet.
d) Zeige: Zu jedem Graphen G gibt es eine Reihenfolge der Knoten, bei welcher der
Greedy-Algorithmus mit der minimalen Zahl Farben auskommt.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
a) Für einen Graphen mit m Kanten definiere f (G) :=
1
2
q
+ 2m + 41 . Zeige
χ(G) ≤ f (G).
b) Sei
g(G) := 1 + max{δ(H) | H induzierter Teilgraph von G}.
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass gilt
χ(G) ≤ g(G).
Zeige, dass für jeden Graphen gilt:
g(G) ≤ f (G).
Die aus der Vorlesung bekannte Schranke ist also nie schlechter als die aus a).
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Sei k ≥ 2. Ein Graph heisst kritisch k-chromatisch, wenn χ(G) = k und für jeden Knoten v
gilt χ(G − {v}) ≤ k − 1.
a) Zeige, dass jeder Graph G mit χ(G) = k einen kritisch k-chromatischen Teilgraphen hat und dass der Minimalgrad jedes solchen Teilgraphen mindestens k − 1
ist.
b) Zeige, dass jeder kritisch k-chromatische Graph (k − 1)-kantenzusammenhängend
ist.
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Eine k-Kantenfärbung eines Graphen G = (V, E) ist eine Abbildung c : E → [k], so dass
für alle e, e0 ∈ E mit e ∩ e0 6= ∅ stets c(e) 6= c(e0 ) gilt.
G heisst k-kantenfärbbar, wenn es eine k-Kantenfärbung von G gibt.
Der chromatische Index von G ist definiert als χ0 (G) := min{k | G ist k-kantenfärbbar}.
a) Der Kantengraph L(G) von G ist definiert als der Graph mit der Knotenmenge E
und der Kantenmenge
F := {{e, e0 } | e ∩ e0 6= ∅}.
Zeige
χ0 (G) = χ(L(G)).
b) Zeige, dass für jeden Graphen G gilt
∆(G) ≤ χ0 (G) ≤ 2∆(G) − 1.
c) Zeige
n − 1 ≤ χ0 (Kn ) ≤ n.
Abgabe: Bis Mi, 23.5.2012, 10:00 Uhr im Kasten 7 in der ersten Etage des D-Gebäudes.