Felsner, Heldt Vorlesung über Graphentheorie (DS II) 07

9. Übungszettel für die Vorlesung:
Vorlesung über Graphentheorie (DS II)
Felsner, Heldt
07. Januar
Abgabedatum: 12. Januar.
http://www.math.tu-berlin.de/~felsner/Lehre/dsII09.html
(1)
(2)
(a)
Zeige, dass Line Graphen von eulerschen Graphen hamiltonsch sind.
(b)
Finde einen Graphen G der nicht eulersch ist, dessen Line Graph L(G) aber hamiltonsch
ist.
(c)
Beweise, dass L(G) genau dann hamiltonsch ist, wenn G einen Kreis enthält, dessen
Knoten ein Vertex Cover von G bilden.
Sei G ein Graph mit einer kreisfreien Orientierung der Kanten, so dass jeder Knoten maximal
k ausgehende Kanten hat. Zeige, dass dann
χL (G) ≤ k + 1
gilt.
(3)
(4)
Sei k ∈ N und k ≥ 1. Weiterhin sei G ein k–regulärer Graph. Beweise die Aussagen:
(a)
Hat G eine ungerade Anzahl von Knoten, so gilt χ0 (G) > k.
(b)
Hat G einen trennenden Knoten v, so gilt χ0 (G) > k.
Sei G ein bipartiter Graph. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass dann L(G) perfekt ist.
(a)
Zeige, dass G perfekt ist.
(b)
Zeige, dass G perfekt ist.
(c)
Zeige, dass auch L(G) perfekt ist.
(Hinweis: Verwende den Satz von König–Egerváry)