Felsner, Heldt Vorlesung über Graphentheorie (DS II) 16

8. Übungszettel für die Vorlesung:
Vorlesung über Graphentheorie (DS II)
Felsner, Heldt
16. Dezember
Abgabedatum: 5. Januar
http://www.math.tu-berlin.de/~felsner/Lehre/dsII09.html
Die Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und bis zum 05.01.2010 abzugeben!
(1)
(a)
Finde für jedes n ∈ N einen bipartiten Graphen mit 2n Knoten und eine Reihenfolge
der Knoten, so dass der Greedy–Algorithmus n statt 2 Farben zum Färben des Graphen
nutzt.
(b)
Ein Graph G mit χ(G) = k heißt k–chromatisch kritisch, wenn für jeden Knoten
v ∈ V (G) gilt, dass χ(G − v) < k ist. Beweise, dass der minimale Grad k–chromatisch
kritischer Graphen ≥ k − 1 ist.
Zeige weiterhin, dass jeder k–chromatische Graph G (also jeder Graph G mit χ(G) = k)
einen k–chromatisch kritischen induzierten Subgraphen H besitzt.
(2)
Seien s, t ∈ N natürliche Zahlen und T ein Baum mit t Knoten.
Zeige: R(T, Ks ) = (s − 1)(t − 1) + 1. Dabei ist R(T, Ks ) die kleinste natürliche Zahl R,
bei der jede rot/blau–Färbung des KR entweder einen blauen Subgraph T oder einen roten
Subgraph Ks enthält.
(3)
Ist es möglich, die zehn Dominosteine mit den Punkten (1, 2), (1, 6), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4),
(2, 5), (3, 4), (6, 5) und (4, 5) so in einem Kreis zu plazieren, dass jeweils die aneinander liegenden Augenzahlen gleich sind?
ein Kreis aus den Steinen (2, 3), (3, 1), (1, 5), (1, 5), und (1, 2).
Ist es (auch) mit der Menge (1, 2), (1, 3), (4, 5), (5, 3), (4, 3), (5, 2), (4, 2), (3, 2), (5, 1) und (4, 1)
möglich?
(4)
(a)
Gibt es einen Graphen G mit 6 Knoten und einer Adjazenzmatrix A, die die Eigenwerte
1, 2, 3, 4, 5, 6 hat?
(b)
Charakterisiere alle Graphen G mit der Eigenschaft, dass alle induzierten Subgraphen
von G zusammenhängend sind.
(c)
Finde einen Graphen G der eulersch, aber nicht hamiltonsch, sowie einen Graphen H,
der hamiltonsch aber nicht eulersch ist.
(d)
Finde eine Zahl k ∈ N die R3 (3; 5, 5, 5) < k erfüllt.