Algorithmen in der Diskreten Mathematik SS 2014

1. Übungsblatt
Algorithmen in der Diskreten Mathematik
Gesamtpunktzahl: 40
SS 2014
Jens M. Schmidt
Aufgabe 1: Bipartite Graphen
(8 Punkte)
Finden Sie einen effizienten Algorithmus, der einen gegebenen Graphen daraufhin
überprüft, ob er bipartit ist. Geben Sie eine sinnvolle Graphenrepräsentation, die
benutzten Operationen auf dieser Repräsentation und die Laufzeit des Algorithmus
auf der Unit-Cost RAM an.
Aufgabe 2: Gerichtete Azyklische Graphen
(4 Punkte)
Beweisen Sie, dass jeder gerichtete azyklische Graph einen Knoten mit Eingangsgrad
0 und einen Knoten mit Ausgangsgrad 0 enthält.
Aufgabe 3: Simple Graphen
(8 Punkte)
Beschreiben Sie einen Linearzeitalgorithmus, der testet, ob ein gegebener Graph
simple ist.
Aufgabe 4: Induzierte Subgraphen
(5 Punkte)
Sei G ein simpler Graph mit n Knoten und m Kanten.
i) Wie viele knoten- und kanten-induzierte Subgraphen enthält G jeweils (verschiedene isomorphe Subgraphen zählen separat)?
ii) Ist jeder kürzeste Kreis in G (knoten-)induziert? Ist jeder induzierte Kreis in G
ein Kürzester? Geben Sie Beweise oder Gegenbeispiele.
Aufgabe 5: Dreiecksfreie Graphen
(15 Punkte)
Ein Graph G heißt dreiecksfrei, wenn er kein Dreieck (K3 ) enthält (!). Finde einen effizienten Algorithmus, der berechnet, ob ein gegebener Graph dreiecksfrei ist (schneller
⇒ besser). Welche Graph-Repräsentation ist sinnvoll und welche Laufzeit hat der
Algorithmus?