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Lehrstuhl für Informatik I
Würzburg, den 03. Mai 2016
Algorithmen, Komplexität und
wissensbasierte Systeme
Prof. Dr. Alexander Wolff
M. Sc. Fabian Lipp
Universität Würzburg
4. Übungsblatt zur Vorlesung
Algorithmische Graphentheorie
(Sommersemester 2016)
Aufgabe 1 – Knotengrade
a) Ein einfacher Graph ist ein Graph ohne Schleifen und Mehrfachkanten. Gibt
es einen einfachen Graphen mit 12 Knoten und den Graden 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5,
6, 6, 7, 10, 11?
2 Punkte
b) Wir betrachten folgendes Problem: Gegeben seien eine natürliche Zahl n, natürliche Zahlen e1 , . . . , en und a1 , . . . , an . Gesucht ist ein gerichteter (einfacher) Graph mit Knotenmenge {v1 , v2 , . . . , vn }, so dass für i = 1, . . . , n Knoten vi Eingangsgrad ei und Ausgangsgrad ai hat.
Modellieren Sie dieses Problem als Maximalflussproblem. Zeigen Sie, dass
Ihr Modell korrekt ist.
6 Punkte
Aufgabe 2 – Max-Flow-Min-Cut
a) Ermitteln Sie für den angegebenen Graphen einen maximalen Fluss mit einem der in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen. Geben Sie in nachvollziehbarer Art und Weise die Zwischenschritte an.
5 Punkte
5
d
5
b
6
9
4
c
s
t
2
4
3
7
a
2
6
3
e
b) Zeigen Sie die Optimalität des von Ihnen gefundenen Flusses, indem Sie
einen minimalen Schnitt angeben.
1 Punkt
c) Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit s, t ∈ V und Kantenkapazitäten c : E → R>0 .
Geben Sie einen effizienten Algorithmus an, der einen minimalen s-t-Schnitt
ermittelt. Zeigen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus. Welche Laufzeit hat
er?
6 Punkte
Aufgabe 3 – Matching als ganzzahliges lineares Programm
Gegeben sei ein ungerichteter Graph G = (V, E). Formulieren Sie das Problem,
ein Matching M ⊆ E von maximaler Kardinalität in G zu finden als ganzzahliges
lineares Programm.
4 Sonderpunkte
Abgabe der Lösungen bis Dienstag, 10. Mai 2016, 10:15 Uhr zu Beginn der Vorlesung oder in den Briefkasten. Die Besprechung erfolgt in der Übung am Freitag,
13. Mai 2016.