Aufgabenblatt 4

Übungen zu Berechenbarkeit und Komplexitätstheorie
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Sommersemester 2017
Fak. Elektronik und Informatik
Aufgabenblatt 4
http://image.informatik.htw-aalen.de/Thierauf/
1. Sei G = (V, E) ein Graph mit V = {1, . . . , n}. Die Adjazenzmatrix von G ist die n × n
Matrix A = (ai,j )1≤i,j≤n mit
ai,j
(
1, falls (i, j) ∈ E,
=
0, sonst.
Wir betrachten n2 boolesche Variablen xi,j , für 1 ≤ i, j ≤ n. Wir nehmen die Adjazenzmatrix A von G als Belegung der Variablen, d.h. wir belegen xi,j mit ai,j . Eine boolesche Formel F
mit n2 Variablen xi,j kann nun Eigenschaften von Graphen ausdrücken, indem F genau bei
den Belegungen erfüllt ist, für die der zugehörige Graph die entsprechende Eigenschaft hat.
Geben Sie Formeln an, die folgende Eigenschaften von Graphen ausdrücken.
a) G hat ≥ 1 Kante.
d) G ist ein ungerichteter Graph.
b) G hat genau eine Kante.
e) G ist eine Äquivalenzrelation.
c) G ist der vollständige Graph, Kn .
f) G ist eine Halbordnung.
2. Zeigen Sie, dass folgende Probleme NP-vollständig sind.
a) Double-Sat
Gegeben ist eine boolesche Formel F .
Gefragt ist, ob F ≥ 2 erfüllende Belegungen hat.
b) k-Färbbarkeit, für k ≥ 4.
c) Longest Path
Gegeben ist ein Graph G und eine Zahl `.
Gefragt ist, ob es einen einfachen Weg in G gibt, der mindestens die Länge ` hat.
Einfache Wege sind Wege, bei denen kein Knoten mehrfach vorkommt.
d) Longest Path between two Vertices
Gegeben ist ein Graph G, zwei Knoten s 6= t, und eine Zahl `.
Gefragt ist, ob es einen einfachen Weg von s nach t in G gibt, der mindestens die Länge `
hat.
e) Teilgraph Isomophie.
Gegeben sind zwei Graphen G1 = (V1 , E1 ) und G2 = (V2 , E2 ) .
Gefragt ist, ob G1 als Teilgraph in G2 enthalten ist, d.h. ob eine injektive Abbildung
h : V1 → V2 existiert, mit (u, v) ∈ E1 ⇐⇒ (h(u), h(v)) ∈ E2 , für alle u, v ∈ V1 .
Hinweis: Reduktion von Clique.