Graphentheorie – ¨Ubung 4

Prof. Dr. Matthias Kriesell · Thomas Schweser
TU Ilmenau · Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften
Graphentheorie – Übung 4
1. Man beweise, dass der K5 eine Einbettung auf dem Torus besitzt (d.h., kreuzungsfrei auf dem Torus zeichenbar ist). Gilt dies auch für den K6 ?
2.∗ Man gebe alle Tupel (r, s, m, n, f ) von natürlichen Zahlen an, für die es einen
schlichten ebenen zusammenhängenden Graphen ohne Brücken gibt, der die
folgenden drei Bedingungen erfüllt:
(a) n = |V (G)|, m = |E(G)|, f = |F (G)|,
(b) dG (v) = r ≥ 3 für alle Ecken v ∈ V (G)
(c) Jede Fläche wird von genau s ≥ 3 Kanten berandet.
(Eine Brücke ist eine Kante e derart, dass G − e mehr Komponenten besitzt als
G.)
3.∗ Ein Graph G heißt kritisch bzw. k-kritisch, wenn für jeden echten Untergraphen
H von G die Beziehung χ(H) < χ(G) = k gilt, wobei χ(G) die chromatische
Zahl von G bezeichne. Man beweise die folgenden Aussagen:
(a) Jeder Graph besitzt einen kritischen Untergraphen.
(b) Für k ≥ 2 ist ein Graph G genau dann k-kritisch, wenn G zusammenhängend
ist, χ(G) = k gilt und χ(G − e) < χ(G) für alle e ∈ E(G) erfüllt ist.
(c) Ist G ein k-kritischer Graph, so gibt es keinen Trenner von G, der eine
Clique ist. Folglich ist G immer 2-zusammenhängend, außer im Falle k ≤ 2.
Erinnerung: Eine Teilmenge X ⊆ V (G) heißt Clique, falls je zwei verschiedene Ecken aus X in G durch wenigstens eine Kante verbunden sind.
4.∗ Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist G ein k-kritischer Graph mit k ≥ 1, so
ist G (k − 1)-kantenzusammenhängend und insbesondere gilt δ(G) ≥ k − 1.
Die mit (*) gekennzeichneten Aufgaben sind von Scheinanwärtern
vorzurechnen, die Aufgaben ohne (*) sollen von den restlichen
Teilnehmern vorbereitet werden.