Netzwerkalgorithmen ¨Ubung 1 vom 28.04.2014

Abteilung Algorithmik
Institut für Betriebssysteme und Rechnerverbund
TU Braunschweig
SoSe 14
Dr. Christiane Schmidt
Florian Maurer
Arne Schmidt
Netzwerkalgorithmen
Übung 1 vom 28.04.2014
Abgabe der Lösungen bis Mittwoch, den 14.05.2014, bis 13:00 Uhr in der
Abteilung Algorithmik.
Bitte die Blätter vorne deutlich mit eigenem Namen und Gruppennummer versehen!
Aufgabe 1 (Algorithmische Grundprinzipien - Divide and Conquer):
Bereite einen Kurzvortrag zum Thema “Divide and Conquer” vor - d.h. Du solltest in 515 Minuten in der Lage sein, deinen Kommilitonen zu erläutern, was das Grundprinzip
ist, ein Beispiel geben und auch erläutern können, warum dieses algorithmische Prinzip
dann leider doch nicht für jedes Problem die optimale Lösung liefert. Eine mögliche
Quelle für diese Aufgabe kann z.B. das entsprechende Kapitel im Buch von Vazirani
sein: http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap2.pdf.
Erläuterung der Punktevergabe für diese Aufgabe: Wir nennen das mal Vertrauensaufgabe - Ihr tragt Euch zu Beginn der kleinen Übung in eine Liste ein, womit
Ihr sagt “Ja, ich habe diese Aufgabe bearbeitet, möchte also gerne die 15 Punkte, d.h.
auch, wenn ich ausgewählt werde, kann ich problemlos den Kurzvortrag halten.” - Florian und Arne wählen dann zufällig jemanden aus der Liste, und wenn der-/diejenige
dann keinen Kurzvortrag hat, gibt es logischerweise keine Punkte, und ein Nächster
wird ausgewählt - alles klar?
(15 Punkte)
Aufgabe 2 (Zusammenhang):
(a) Sei G ein Graph mit n Knoten. Angenommen, jeder Knoten von G hat mindestens
Grad (n − 1)/2. Zeige, dass G zusammenhängend sein muss.
(b) Zeige: Ein Graph G ist zusammenhängend genau dann, wenn für jede Zerlegung
der Knotenmenge V (G) = V1 ⊍ V2 (d.h. V1 ∩ V2 = ∅) eine Kante e = {v, w} mit
v ∈ V1 und w ∈ V2 existiert.
(c) Zeige: Wenn G nicht zusammenhängend ist, dann ist der komplementäre Graph
G zusammenhängend. (Für einen Graph G = (V, E) enthält der komplementäre
Graph alle zum vollständigen Graphen auf V fehlenden Kanten.)
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(d) Zeige: Ein zusammenhängender Graph mit n Knoten hat mindestens n−1 Kanten.
(5+5+5+5 Punkte)
Aufgabe 3 (Algorithmus von Kruskal):
Bestimme mit Hilfe des Algorithmus von Kruskal einen minimalen aufspannenden
Baum. Gib dazu die Kanten in der Reihenfolge an in der sie in den Baum aufgenommen
werden und zeichne die gefundene Gesamtlösung. Kommen in einem Schritt mehrere
Kanten in Frage, wähle die mit dem kleinsten Kantenindex.
Um die Korrektur zu vereinfachen, gehen wir davon aus, dass wir Kanten immer in der
Form e = (vi , vj ) mit i < j schreiben.
WICHTIG: Damit der Algorithmus von Kruskal eine Laufzeit von O(m log n) erreicht,
kann man die in der Vorlesung vorgestellte Datenstruktur verwenden. Gib jeweils nach
dem Einfügen einer Kante den Zustand der Datenstruktur an.
(Hinweis: Kommen beim Einfügen einer Kante in die Datenstruktur zwei Möglichkeiten
in Frage, wähle die Kante, so dass sie vom Knoten mit dem kleineren Index zum Knoten
mit dem größeren Index verläuft.)
(15 Punkte)
Einschub - Gerichtete Graphen: Für einen gerichteten Graphen D = (V, A) ist
G = (V, E) mit E = {{v, w}∣(v, w) ∈ A} der zu D gehörende ungerichtete Graph. Ein gerichteter Graph is zusammenhängend, wenn der ungerichtete Graph zusammenhängned
ist.
Ein gerichteter Graph ist ein Branching, wenn der zugrundeliegende ungerichtete Graph
ein Wald ist, und jeder Knoten nur eine eingehende Kante hat. Eine Arboreszenz ist
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ein zusammenhängendes Branching. Der eindeutige Knoten in einer Arboreszenz mit
Eingrad 0 ist die Wurzel. Ein gerichteter Graph ist azyklisch, wenn er keinen gerichteten
Kreis enthält.
Aufgabe 4 (Kürzeste r-Arboreszenzen): Gegeben sei ein gerichteter Graph D =
(V, A), ein Knoten r, und eine Längenfunktion ` ∶ A → Q+ .
Wir suchen eine kürzeste r-Arboreszenz (also eine in r verwurzelte Arborezenz).
Der Greedy-Algorithmus für dieses Problem lautet folgendermaßen:
Starte bei r und erweitere iterativ eine r-Arboreszenz der Teilmenge U von V durch
die kürzeste Kante, die aus U herausgeht.
Liefert dieser Algorithmus eine kürzeste r-Arboreszenz? Beweise Deine Behauptung.
(10 Punkte)
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