Aufgaben Klasse 9, 1. Blatt

Aufgaben Klasse 9, 1. Blatt
Wiederholung
• Schubfachprinzip
• Vollständige Induktion
Aufgabe 1.1 (Vollständige Induktion)
Es sei an die Seitenlänge eines regulären 2n -Ecks mit Umkreisradius 1. Beweise
s
r
q
√
an = 2 − 2 + 2 + ... + 2
wobei in der Wurzel hinter dem Minuszeichen n − 2 mal die Zahl 2 vorkommt.
Graphentheorie:
Ein Graph ist eine Menge, die aus Punkten (Knoten genannt) und Verbindungen zwischen den
manchen Punkten (Kanten genannt) besteht.
In einem vollständigen Graph, sind alle Knoten durch Kanten verbunden.
In einem zusammenhängenden Graphen sind je zwei Knoten – möglicherweise über andere
weitere Knoten – durch Kanten verbunden.
Aufgabe 1.2
G sei ein Graph mit n Knoten.
a) Bestimme die Anzahl der Kanten, falls G vollständig ist.
b) Bestimme die minimale Anzahl der Kanten, falls G zusammenhängend ist.
Aufgabe 1.3 (Schubfachschluß)
In einem Graphen mit n Knoten sollen von jedem Knoten aus mindestens
Beweise, daß so ein Graph zusammenhängend ist.
Aufgabe 1.4 (Mengentheorie)
n−1
2
Kanten ausgehen.
Es seien X und Y beliebige Mengen, f : X −
→ Y eine beliebige Funktion und fˆ : 2X −
→ 2Y die
kanonische Potenzmengenfunktion. Beweise folgende Aussagen:
fˆ(A ∩ B)
fˆ(A ∪ B)
ˆ X A)
f(C
fˆ−1 (A ∪ B)
fˆ−1 (A ∩ B)
⊆
=
⊇
=
=
fˆ(A) ∩ fˆ(B)
fˆ(A) ∪ fˆ(B)
CY fˆ(A)
fˆ−1 (A) ∪ fˆ−1 (B)
fˆ−1 (A) ∩ fˆ−1 (B)
Dr. Holger Stephan
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