Universität Kassel Fachbereich 10/16 Dr. Sebastian Petersen Blatt 12 25.01.2012 Übungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II Wintersemester 2011/12 Aufgabe 1) ist relevant für den Scheinerwerb. Aufgabe 1. Wir betrachten den vollständigen bipartiten Graphen Kn,m = (Vn,m , En,m ) mit (n + m)-elementiger Knotenmenge Vn,m = {v1 , · · · , vn } ∪ {w1 , · · · , wm } und Kantenmenge En,m = {{vi , wj } : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}. a) Man beweise: Der Graph Kn,m ist genau dann hamiltonsch, wenn n = m gilt. b) Man ergänze die folgende Aussage sinnvoll und beweise sie dann: “Der Graph Kn,m ist genau dann eulersch, wenn · · · gilt”. (Für · · · soll eine sinnvolle Bedingung an n und m stehen, ähnlich wie in Teil a.) c) Geben Sie jeweils ein Bespiel für einen Graphen, der • • • • eulersch und hamiltonsch ist, nicht eulersch aber hamiltonsch ist, eulersch aber nicht hamiltonsch ist bzw. weder eulersch noch hamiltonsch ist. Aufgabe 2. Ein Baum ist ein endlicher, einfacher, kreisfreier, zusammenhängender Graph. Ein Blatt eines Baumes ist ein Knoten v mit deg(v) = 1. Sei Γ = (V, E) ein Baum. Wir setzen dann P B(Γ) := 2 + v∈V+ (deg(v) − 2), wobei V+ := {v ∈ V : deg(v) ≥ 3}. a) Zeichnen Sie drei verschiedene Bäume mit jeweils 6 Knoten und markieren Sie jeweils die Blätter. b) Zeigen Sie, daß jeder Baum mit mindestens zwei Knoten auch Blätter hat. (Zur Selbstkontrolle: Wo in Ihrem Beweis geht die Voraussetzung “kreisfrei” ein, ohne die die Aussage offenbar falsch ist?) c) Beweisen Sie: Jeder Baum Γ mit mindestens zwei Knoten hat genau B(Γ) Blätter. (Anleitung: Vollständige Induktion nach |V |. Wie ändert sich B(Γ) und die Zahl der Blätter von Γ, wenn man “ein Blatt pflückt”?) Aufgabe 3. Gegeben sei ein “Schachbrett” vom Format n × n. Die Felder seien durchnummeriert mit Zahlen in V := {1, · · · , n2 } und in üblicher Weise schwarz und weiß gefärbt. Wir betrachten den einfachen Graph Γn mit Knotenmenge Vn , in dem zwei Knoten i, j ∈ Vn genau dann verbunden sind, wenn man Feld j von Feld i aus durch den Zug eines Springers erreichen kann. a) Zeichnen Sie ein solches Schachbrett und den Graph Γn im Fall n = 3. b) Zeigen Sie, daß Γn für n ≥ 4 zusammenhängend ist. c) Beweisen Sie: Wenn n ≥ 3 ungerade ist, dann ist Γn nicht hamiltonsch. Abgabe: Die Lösungen müssen am Mittwoch den 01.02.2012 in der Vorlesung spätestens bis 08:15 Uhr abgegeben werden.