Diskrete Mathematik (D-ITET) - Cadmo

ETH Zürich
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Emo Welzl
Dr. Johannes Lengler
HS 2014
Übungsblatt 4
Diskrete Mathematik (D-ITET)
Abgabe der Serie vor der Vorlesung am 10.11.2014.
Aufgabe 1
(a) Sei G ein Graph und AG seine Adjazenzmatrix. Was erhält man, wenn man in
A2G die Diagonalelemente addiert?
(b) Sei der Graph G durch seine Adjazenzmatrix gegeben. Wie kann man mit Hilfe
der Matrixmultiplikation die Anzahl der Dreiecke in G bestimmen? Beweisen
Sie die Korrektheit der vorgeschlagenen Methode.
(6 Punkte)
Aufgabe 2
Ein Graph heisst bipartit, wenn seine Knotenmenge V so in zwei Mengen V1 und
V2 partitioniert werden kann, dass jede Kante von einem Knoten aus V1 zu einem
Knoten aus V2 verläuft.
(i) Zeigen Sie, dass jeder Baum bipartit ist.
(ii) Zeigen Sie, dass jeder Baum für jede solche Partition V1 , V2 ein Blatt in der
grösseren der beiden Mengen V1 , V2 besitzt (bzw. in beiden Mengen, falls |V1 | = |V2 |
gilt).
(6 Punkte)
Aufgabe 3
(a) Sei d1 , . . . , dn eine Folge positiver natürlicher Zahlen. Zeigen Sie, dass es genau
dann P
einen Baum mit Knotenmenge V = {1, 2, . . . , n} und deg(i) = di gibt,
wenn
di = 2n − 2 gilt.
(b) Gegeben sei eine Folge d1 , . . . , dn positiver natürlicher Zahlen, die sie sich zu 2n−
2 aufsummieren. Wie viele verschiedene (markierte) Bäume mit Knotenmenge
V = {1, 2, . . . , n} gibt es, so dass deg(i) = di gilt?
(c) Charakterisieren (beschreiben) Sie die Bäume, in deren Prüferkode jede Zahl
höchstens einmal auftritt.
(d) Sei n ≥ 5. Wie viele markierte Bäume auf 2n + 1 Knoten gibt es, in denen
Knoten 1 genau Grad 5 hat, und die ausserdem einen Knoten vom Grad n + 1
enthalten?
(10 Punkte)
1
Aufgabe 4
Sei T ein gewurzelter Baum, in dem jeder Knoten höchstens k Kinder hat (k ≥ 1).
Die Tiefe t von T sei die maximale Länge eines Pfades, der in der Wurzel von T
startet.
Zeigen Sie, dass T höchstens k t viele Blätter hat.
(4 Punkte)
Aufgabe 5
Sei G = (V, E) ein Graph. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(1) G ist ein Baum, d.h. G ist zusammenhängend und kreisfrei.
(2) G ist minimal zusammenhängend, d.h. G ist zusammenhängend und wann immer wir eine Kante aus G löschen, ist der resultierende Graph nicht mehr zusammenhängend.
(3) G ist kreisfrei und erfüllt |E| = |V | − 1.
(4) Für alle Knoten u, v ∈ V gibt es genau einen Pfad von u nach v in G.
(9 Punkte)
Challenge-Aufgabe
Wir betrachten diejenigen Permutationen von [n], deren längster Zyklus eine Länge
von mindestens 32 n hat. Was ist der Anteil dieser Permutationen unter allen Permutationen von [n] für n → ∞? (Ihre Antwort sollte eine möglichst einfache Formel
sein, zusammen mit einem Beweis, dass die Formel richtig ist.)
Die Bearbeitung der Challenge-Aufgabe ist optional. Wer als erstes eine vollständige,
richtige Lösung abgibt, gewinnt einen Buchpreis. Lösungen können Sie direkt bei
der Übungsleitung per E-Mail ([email protected]) oder auch persönlich abgeben. Es
ist Ehrensache, dass man eine Challenge-Aufgaben nur dann abgibt (und damit den
Preis gewinnen kann), wenn man sie ohne fremde Hilfe gelöst hat!
Der Gewinner darf aus folgender Buchliste wählen:
• Peter Winkler: Mathematical Puzzles - A Connoisseur’s Collection
• Béla Bollobás: The Art of Mathematics - Coffee Time in Memphis
• Simon Singh: Fermats letzter Satz
• Martin Aigner und Günter Ziegler: Das Buch der Beweise
• Angelika Steger: Diskrete Strukturen 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra
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