Blatt 7

Fachbereich Mathematik
H. Harbrecht / F. Effenberger
Blatt 7
WS 2010/11
M  C
Aufgabe 1
a) Schreiben Sie eine Matlab-Funktion bisektionsverfahren(f, a,
b, epsilon), welche das in der Vorlesung vorgestellte Bisektionsverfahren implementiert. Dabei ist f die Funktion, von der eine Nullstelle in dem durch die Parameter a und b festgelegten Intervall mit
einer Genauigkeit von epsilon berechnet werden soll.
Hinweis: Um Nullstellen mit hoher Genauigkeit zu erhalten, müssen
alle Dezimalstellen ausgegeben werden. Dies geschieht durch die
Eingabe von format long. Zahlen der Form a × 10b werden durch
xey eingegeben, also ist 1e-8 die Zahl 10−8 .
b) Schreiben Sie je eine Matlab-Funktion für die mathematischen Funktionen
f1 (x) = 3x − 6
f2 (x) = 10ex − 11 − 10x
f3 (x) = 742x3 − 6889x2 + 21315x − 21978
und bestimmen Sie mit Hilfe des Bisektionverfahrens jeweils die ersten 6 Dezimalstellen aller Nullstellen.
Hinweis: f3 besitzt 3 reelle Nullstellen. Bestimmen Sie geeignete Startintervalle mit Hilfe von funktion plotten aus Aufgabe 2.
√
c) Berechnen Sie die ersten 6 Dezimalstellen von 2 so, dass nur die
vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division benötigt werden.
Aufgabe 2
a) Schreiben Sie je eine Matlab-Funktion funktion plotten(f,a,b,N),
welche den Graph der Funktion f : [a, b] −→ R unter Verwendung
von N Unterteilungspunkten des Intervalls [a, b] zeichnet. Verwenden Sie dazu den Matlab-Befehl plot.
b) Zeichnen Sie den Graph der für x , 0 definierten Funktionen
r1 (x, y) = sin
1
x
r2 (x, y) = x sin
1
x
mit Hilfe der in a) programmierten Funktion funktion plotten.
Existiert
lim r1 (x) bzw. lim r2 (x)?
x→0
x→0
Hinweis: Zeichnen Sie die Funktionen mit hoher Auflösung auf stets
kleiner werdenden Intervalle um 0. Was erkennen Sie? Die Funktion sin x1 wird als Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht
wegzusammenhängenden Untermenge des R2 oft auch als Sinus des
Topologen bezeichnet.
Aufgabe 3 (Präsenzaufgabe) Sei V = {0, . . . , n − 1}, n ∈ N. Ein gerichteter
Graph G ist ein 2-Tupel G = (V, E) mit E ⊂ V ×V, dem kartesischen Produkt
von zwei Kopien von V. Hierbei heißen die Elemente aus V Knoten, die
aus E Kanten. Ein Graph mit n Knoten kann über eine n × n-Matrix A
dargestellt werden, wobei Ai j = 1, wenn (i, j) ∈ E und Ai j = 0 sonst (die
Matrix A heißt Adjazenzmatrix von G).
Schreiben Sie eine Matlab-Funktion, welche aus G einen Graphen G+ =
(V, E+ ) konstruiert, der genau dann eine Kante (x, y) enthält, wenn es in
G einen Weg von x nach y gibt, d.h. eine Folge von Kanten, welche x mit
y verbindet. Der Graph G+ heißt transitive Hülle von G, warum? Wenn
man die Eigenschaft “verbunden sein” von zwei Knoten in G als Relation
auffasst, welche Eigenschaften erfüllt diese dann?
Zeichnen Sie den folgenden über seine Adjazenzmatrix gegebenen Graphen und testen Sie Ihre Funktion damit:


 0 1 1 0 


 0 0 1 0 


M =  1 0 0 0 
 1 0 0 0 




0 0 0 0