Ubungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II

Universität Kassel
Fachbereich 10/16
Dr. Sebastian Petersen
Blatt 12
30.01.2013
Übungen zur Vorlesung Diskrete Strukturen II
Wintersemester 2012/13
Aufgabe 1a) und b) sind relevant für den Scheinerwerb.
Aufgabe 1. Wir betrachten den vollständigen bipartiten Graphen Kn,m = (Vn,m , En,m ) mit
(n + m)-elementiger Knotenmenge Vn,m = {v1 , · · · , vn } ∪ {w1 , · · · , wm } und Kantenmenge En,m =
{{vi , wj } : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}.
a) Man beweise: Der Graph Kn,m ist genau dann hamiltonsch, wenn n = m gilt.
b) Man ergänze die folgende Aussage sinnvoll und beweise sie dann: “Der Graph Kn,m ist genau
dann eulersch, wenn · · · gilt”. (Für · · · soll eine sinnvolle Bedingung an n und m stehen,
ähnlich wie in Teil a.)
c) Geben Sie jeweils ein Bespiel für einen Graphen, der
•
•
•
•
eulersch und hamiltonsch ist,
nicht eulersch aber hamiltonsch ist,
eulersch aber nicht hamiltonsch ist bzw.
weder eulersch noch hamiltonsch ist.
Aufgabe 2. Ein Baum ist ein endlicher, einfacher, kreisfreier, zusammenhängender Graph. Ein
Blatt eines Baumes
ist ein Knoten v mit deg(v) = 1. Sei Γ = (V, E) ein Baum. Wir setzen dann
P
B(Γ) := 2 + v∈V+ (deg(v) − 2), wobei V+ := {v ∈ V : deg(v) ≥ 3}.
a) Zeichnen Sie drei verschiedene Bäume mit jeweils 6 Knoten und markieren Sie jeweils die
Blätter.
b) Zeigen Sie, daß jeder Baum mit mindestens zwei Knoten auch Blätter hat. (Zur Selbstkontrolle: Wo in Ihrem Beweis geht die Voraussetzung “kreisfrei” ein, ohne die die Aussage offenbar
falsch ist?)
c) Beweisen Sie: Jeder Baum Γ mit mindestens zwei Knoten hat genau B(Γ) Blätter. (Anleitung:
Vollständige Induktion nach |V |. Wie ändert sich B(Γ) und die Zahl der Blätter von Γ, wenn
man “ein Blatt pflückt”?)
Aufgabe 3. Gegeben sei ein “Schachbrett” vom Format n × n. Die Felder seien durchnummeriert
mit Zahlen in V := {1, · · · , n2 } und in üblicher Weise schwarz und weiß gefärbt. Wir betrachten
den einfachen Graph Γn mit Knotenmenge Vn , in dem zwei Knoten i, j ∈ Vn genau dann verbunden
sind, wenn man Feld j von Feld i aus durch den Zug eines Springers erreichen kann.
a) Zeichnen Sie ein solches Schachbrett und den Graph Γn im Fall n = 3.
b) Zeigen Sie, daß Γn für n ≥ 4 zusammenhängend ist.
c) Beweisen Sie: Wenn n ≥ 3 ungerade ist, dann ist Γn nicht hamiltonsch.
Abgabe: Die Lösungen müssen am Mittwoch den 06.02.2013 spätestens bis 08:15 Uhr abgegeben
werden.